细长压杆临界力的欧拉公式|建筑力学

工程实际中,压杆两端约束有四种不同情况:两端铰支,一端固定一端铰支,两端固定,和一端固定一端自由,如表12.1所示,图中曲线为压杆处于临界状态时干扰力使其弯曲的形状,称为失稳曲线。

瑞士科学家欧拉(L.Euler)最早研究了两端铰支弹性压杆的稳定性。通过理论推导(本书从略),得出了其临界力的计算公式,即著名的欧拉公式。在此基础上可推广到各种杆端约束下细长压杆临界力的计算公式为:

式(12.2)统称为欧拉公式。式中EI是压杆在其失稳平面内的抗弯刚度。式中的μ称为压杆的长度因数,它与杆端约束有关,杆端约束越强,μ值越小;μl称为压杆的相当长度,它是压杆的挠曲线为半个正弦波(相当于两端铰支细长压杆的挠曲线形状)所对应的杆长度。表12.1列出了4种典型的杆端约束下细长压杆的临界力,以备查用。

表12.1　4种典型细长压杆的临界力

应当指出,工程实际中压杆的杆端约束情况往往比较复杂,应对杆端支承情况作具体分析,或查阅有关的设计规范,定出合适的长度因数。

【例12.1】　一个长l=4m,直径d=100mm的细长钢压杆,支承情况如图12.2所示,在xOy平面内为两端铰支,在xOz平面内为一端铰支、一端固定。已知钢的弹性模量E=200GPa,求此压杆的临界力。

图12.2

【解】　钢压杆的横截面是圆形,圆形截面对其任一形心轴的惯性矩都相同,均为

(www.xing528.com)

因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力,而钢压杆在各纵向平面内的弯曲刚度EI相同,所以式(12.2)中的μ应取较大的值,即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。由已知条件,钢压杆在xOy平面内的杆端约束为两端铰支〔图12.2(a)〕,μ=1;在xOz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定〔图12.2(b)〕,μ=0.7。故失稳将发生在xOy平面内,应取μ=1进行计算。临界力为

【例12.2】　有一个两端铰支的细长木柱(图12.3),已知柱长l=3m,横截面为80mm×140mm的矩形,木材的弹性模量E=10GPa。求此木柱的临界力。

【解】　由于木柱两端约束为球形铰支,故木柱两端在各个方向的约束都相同(都是铰支)。因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力,所以式(12.2)中的I应取Imin。由图12.3可知,Imin=Iy,其值为

图12.3

故临界力为

在临界力Fcr作用下,木柱将在弯曲刚度最小的xOz平面内发生失稳。