两端铰支压杆临界荷载分析：欧拉公式运用

为简化分析，且能得到可应用于工程的、简明的表达式，在确定压杆的临界荷载时做如下简化：

（1）剪切变形的影响可以忽略不计。

（2）不考虑杆的轴向变形。

从图9-2（b）所示的平衡路径可以看出，当Δ→0时FP→FPcr。这表明，当FP无限接近分叉荷载FPcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内，存在微弯的平衡构形。根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界荷载。

考察图9-4（a）所示两端铰支、承受轴向压缩荷载的理想直杆，由图9-4（b）所示与直线平衡构形无限接近的微弯构形局部[图9-4（c）]的平衡条件，得到任意截面（位置坐标为x）上的弯矩为

图9-4　两端铰支的压杆

根据小挠度微分方程

得到

这是压杆在微弯曲状态下的平衡微分方程，是确定临界荷载的主要依据，其中

微分方程（9-3）的通解是

对于两端铰支的压杆，利用两端的位移边界条件：

由式（9-3）得到(www.xing528.com)

方程组（9-6）中，A、B不全为零的条件是

由此解得

于是，有

将k＝nπ/l代入式（9-4），即可得到所要求的临界荷载的表达式：

这一表达式称为欧拉公式。

当欧拉公式中n＝1时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临界荷载：

上述二式中，E为压杆材料的弹性模量；I为压杆横截面的形心主惯性矩。如果两端在各个方向上的约束都相同，I则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。

从式（9-6）中的第1式解出B＝0，连同k＝nπ/l一齐代入式（9-5），得到与直线平衡构形无限接近的屈曲位移函数，又称为屈曲模态：

其中，A为不定常数，称为屈曲模态幅值；n为屈曲模态的正弦半波数。图9-5中所示分别为两端铰支细长压杆1～4阶的屈曲模态。

式（9-11）表明，与直线平衡构形无限接近的微弯屈曲位移是不确定的，这与本小节一开始所假定的任意微弯屈曲构形是一致的。

图9-5　两端铰支压杆的不同屈曲模态