汽车机械基础：拉压杆应力分析

1.应力的概念

同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN并不能判断拉(压)杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关，而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度(简称集度)有关，为此引入应力的概念。

图3-2-8　拉压杆的受力

要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为Δp(图3-2-8(a))，将Δp除以面积ΔA，即

pm称为在面积ΔA上的平均应力。应力的单位为“帕”，用Pa表示。1 Pa=1 N/m2，常用单位为兆帕MPa，1 MPa=106 Pa=1 MN/mm2=1 N/mm2，1 GPa=109 Pa。

构件材料所允许承受的应力是有一定限度的，超过某一限度，构件就不能正常工作，甚至被破坏，构件材料在保证安全工作的条件下允许承受的最大应力，称为许用应力，用[σ]表示许用拉、压应力，用[τ]表示许用剪切应力。

2.轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力

取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和cd，然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、cd分别平移至a′b′、c′d′且仍保持为直线(图3-2-9)。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直，这就是平面假设。根据平面假设，等直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截面上的内力应是均匀分布的(图3-2-9(b))。即横截面上个点处的应力大小相等，其方向与FN一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力σ可以直接表示为

式中σ——正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负；

FN——横截面上的内力(轴力)；

A——横截面的面积。

图3-2-9　拉杆的内力

(a)平面假设；(b)内应力均匀分布

例3-2　设如图3-2-10的直杆的横截面面积A=500 mm2，试求此杆各段截面上的应力，并指出此杆危险截面所在的位置。

解:根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为

AB段:　

BC段:　

CD段:　

DE段:　(www.xing528.com)

由以上计算可知，在BC段应力最大为100 MPa，故BC段各截面为危险截面。

图3-2-10　轴力图

(a)受力图；(b)受力分析；(c)轴力图

3.轴向拉伸或压缩时的变形

轴向拉伸(或压缩)时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长(或缩短)，即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长(或缩短)时，其横向尺寸也会相应缩小(或增大)，即产生垂直于轴线方向的横向变形。

1)纵向变形

设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l1(图3-2-11(a))。杆件沿轴线方向的伸长为

拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。

图3-2-11　杆件的变形

(a)正视图；(b)侧视图

杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表示:

ε是量纲为1的量，其符号与Δl的符号一致。

2)胡克定律

正应力与正应变ε存在下列关系:在一定范围内，某一点的正应力同该点的线应变成正比例关系。在杆件材料尺寸不变的情况下，应力增加，杆件变形也随之增加，即线应变增加。

σ=E·ε

其中，E为比例系数，称为弹性模量，各种材料的E值都是实验测定的。E的常用单位为MPa或者GPa。上式为胡克定律，适宜用于单向拉伸、压缩。

通过前面的讨论可知，则杆件的绝对变形量也可以用下式计算:

弹性模量表示在受拉(压)时，材料抵抗弹性变形的能力。由上式可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA为杆件抗拉(压)刚度。工程上常用材料的弹性模量与泊松比见表3-2-1。

表3-2-1　常用材料的弹性模量E和泊松比μ