（1）设C为常数，则D（C）＝0.
证 D（C）＝E（C 2）－（E（C））2＝C 2－C 2＝0. □
（2）设X为随机变量，C为常数，则有
D(CX)＝C 2 D(X).
证 D（CX）＝E（C 2 X 2）－（E（CX））2
＝C 2(E(X 2)－(E(X))2)＝C 2 D(X). □
（3）设随机变量X和Y相互独立，则有
D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y).
证 D（X＋Y）＝E（（（X＋Y）－E（X＋Y））2）
＝E(((X－E(X))＋(Y－E(Y)))2)
＝E((X－E(X))2)＋E((Y－E(Y))2) ＋2E((X－E(X))(Y－E(Y)))
＝D(X)＋D(Y)＋2E((X－E(X))(Y－E(Y))).
又因为
E((X－E(X))(Y－E(Y)))
＝E(XY＋E(X)E(Y)－XE(Y)－YE(X))
＝E(XY)＋E(X)E(Y)－E(X)E(Y)－E(Y)E(X)
＝E(XY)－E(X)E(Y)，
因为X与Y独立，故有
E(XY)＝E(X)E(Y)，
代入上式，得
E((X－E(X))(Y－E(Y)))＝0.
因此
D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y). □
性质（3）还可以推广到有限个相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn，即有
D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn).
若X和Y相互独立，a，b为常数，由（2）、（3）有
D(aX＋bY)＝a 2 D(X)＋b 2 D(Y).
特别地，有
D(X－Y)＝D(X)＋D(Y).
（4）D（X）＝0的充分必要条件是X依概率1取常数C，即P（X＝C）＝1.显然，E（X）＝C.
证 只证充分性（必要性这里从略）.由
P(X＝C)＝1，
得
E(X)＝C×1＝C，
E(X 2)＝C 2×1＝C 2，
则
D(X)＝E(X 2)－(E(X))2＝C 2－C 2＝0. □
利用方差的性质，常常能使方差的计算简化.
例3 设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，求D（X）.
解 X～B（n，p），其分布律为
P(X＝k)＝
p kq n－k， k＝0，1，2，…，n.
我们已经算出过E（X）＝np，则
D(X)＝E(X 2)－(E(X))2(www.xing528.com)
＝E(X(X－1)＋X)－n 2 p 2
＝E(X(X－1))＋E(X)－n 2 p 2
＝
＝n(n－1)p 2
·p k－2q(n－2)－(k－2)＋np－n 2p 2
＝n(n－1)p 2(q＋p)n－2＋np－n 2p 2
＝n(n－1)p 2＋np－n 2 p 2
＝np(1－p)＝npq.
我们还可以用下面更简单的方法来计算二项分布的E（X），D（X）.
在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率为p，A不发生的概率为q＝1－p.引入随机变量
显然，X＝X1＋X2＋…＋Xn就代表A发生的次数.这里X～B（n，p），Xi～（0-1）分布，且X1，X2，…，Xn是相互独立的，根据前面的计算知
E(Xi)＝p， D(Xi)＝pq，
于是可得
E(X)＝E(X1＋X2＋…＋Xn)
＝E(X1)＋E(X2)＋…＋E(Xn)
＝np，
D(X)＝D(X1＋X2＋…＋Xn)
＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)
＝npq.
例4 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求D（X）.
解 X～π（λ），其分布律为
又知E（X）＝λ，故
D(X)＝E(X 2)－(E(X))2＝E(X(X－1)＋X)－(E(X))2
＝E(X(X－1))＋E(X)－(E(X))2
＝
＝
＝λ2 e－λeλ＋λ－λ2＝λ.
例5 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为
求D（X）.
解 D（X）＝E（X 2）－（E（X））2＝
＝
＝
＝
例6 设随机变量X服从指数分布，其密度函数为
式中，θ＞0，求D（X）.
解 D（X）＝E（X 2）－（E（X））2＝
＝－
＝
例7 设随机变量X服从正态分布，其密度函数为
求D（X）.
解 X～N（μ，σ2），知E（X）＝μ，故
令
＝t，则
从上面所举的例子中可以看到，一些常用分布的期望方差知道后，则其分布的参数也就知道了，从而分布也就唯一确定，由此也可看出数字特征的重要性.
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