进化算法优化混合动力系统

科学研究与工程实践中的许多优化问题都可以归结为多目标优化（Multiobjec-tive Optimization，MO）与决策问题，例如，混合动力系统的性能优化，航天器有效射程、载荷、推力参数的综合优化，桥梁质量和强度设计的综合，投资组合中风险和效益的综合，社会发展与国民经济的中长远发展计划的优化与决策问题等。

定义1-1 多目标优化问题

对于一个最小化优化问题，设X为n维的决策空间，Y为m维的目标空间，一个多目标优化问题（Multi-objective Optimization Problem，MOP）可表述为[10]

式中，n为决策变量个数；m为优化目标函数数量；x=（x₁，x₂，…，x_n）∈X⊂Rⁿ为决策向量；y=（y₁，y₂，…，y_m）∈Y⊂R^m为目标向量。目标函数F（x）表示m个映射函数f：X→Y，g_i（x）≤0（i=1，2，…，q₁）与h_i（x）=0（i=1，2，…，q₂）分别为目标函数F（x）需要满足的q₁个不等式约束条件与q₂个等式约束条件。

对于一个多目标优化问题的求解，要在充分收集资料和数据的基础上，深入分析各种数量间的关系，着重确定以下三要素：

1）决策向量——确定一组恰当的向量，把可供选择的方案表示出来。这组向量取不同的值对应不同的方案。

2）目标函数——根据决策优化与决策目标，对问题提出需要极大化或极小化的指标，它们是决策向量的函数，并组成一个向量目标函数。

3）约束条件——寻找并建立决策向量必须满足的所有限制条件，并且用含有决策向量的不等式或等式表示出来。

多目标优化问题涉及多个相互矛盾而且不可比较的优化目标，通常搜索多目标优化问题的全局最优解的过程是NP完全问题。对于一个多目标优化问题^[11]：

1）通常，多目标优化问题的各目标间存在某种均衡或耦合，优化结果难以使多个优化目标均达到最优状态。当使用某一种方案改善某一目标时，有可能恶化其他目标。

2）各优化目标间无法采用统一的衡量标准或计量单位，目标间无法进行直接比较而区分出优劣。

3）一个多目标优化问题存在一个或多个Pareto最优解，不考虑偏好信息时，Pareto最优解之间无优劣之分。

多目标优化在本质上是向量优化，因此要想界定其解的概念，必须先界定向量集的序关系。按照不同的序关系界定方法有绝对最优解、强有效解、较多有效解、Fuzzy解、满意解、妥协解等多种解的概念。基于定义1-1的符号定义，给出以下几个重要概念^[10]：

定义1-2 Pareto占优

对任意向量u=（u₁，…，u_m）∈Y，v=（v₁，…，v_m）∈Y，当且仅当i∈{1，2，…，m}：u_i≥v_i∧i∈{1，…，m}：u_i＞v_i为真值时，称v比u占优，又称v支配u，记做u＜v。

图1-1 Pareto支配性图解

图1-1为2维最小化优化问题的支配性图解，假定实曲线上的点集为最优曲线。因目标向量u₁小于u₂，称u₁支配（优于）u₂，或者u₂受支配于（劣于）u₁；u₃与u₄不可比较。(www.xing528.com)

定义1-3 Pareto最优解

x∈X被称为Pareto最优解（或Pareto非支配解、非劣解），当且仅当满足条件

定义1-4 Pareto最优解集

对于一个给定多目标优化问题，记Pareto最优解集为P*，其定义为

定义1-5 Pareto前沿

给定一个多目标优化问题及其Pareto最优解集P*，记Pareto前沿为P_F*，其定义为

为了叙述的方便与准确，本研究特给出以下定义：

定义1-6 真实Pareto最优解

给定一个多目标优化问题，称其客观存在的Pareto最优解集为真实Pareto最优解，简称真实Pareto解，记为P^true。

定义1-7 真实Pareto前沿

给定一个多目标优化问题及其真实Pareto最优解集P^true，记真实Pareto前沿为P_F^true，其定义为

定义1-8 n维超球体

n维超球体是决策空间X的子区域，它由一个给定的质心c=（x₁，x₂，…，x_n）∈Rⁿ与半径r（r＞0）确定，n维超球体（简称超球体）定义为一个三元组S_P（c，r，n），即