混沌同步应用于参数未知的混合同步

在实际的工程应用中，混沌系统可能会受建模误差、元器件间的相互干扰和各种外界随机噪声的干扰等因素的影响发生一些变化，即许多混沌系统的参数和模型可能具有不确定性和时变扰动，这会对混沌系统的同步性能产生一定的影响，因此，研究混沌同步控制时考虑混沌系统的不确定性和外部干扰具有实际意义。考虑实际应用的需求，本文仅考虑混沌系统参数未知情况的混合同步。对于系统（2.1－8）给出的驱动系统，当响应系统的参数α未知时，受控的响应系统可以写成

其中，α1是响应系统的未知参数，控制器u2＝－k2e2。

此时，系统（2.1－8）和（2.3－4）之间的误差系统变成

根据相关的控制理论，系统（2.1－8）和系统（2.3－4）达到混合同步等价于当t趋向于无穷大时，误差系统（2.3－5）在e＝0点渐近稳定。

定理2.4　假设统一混沌系统具有有界性。对于驱动系统（2.1－8）和参数未知的响应系统（2.3－4），设M为状态｜y1｜的最大值，N为状态z1的最小值，其中，y1和z1为系统（2.1－8）的两个状态变量，如果存在一个正数p，使得定理2.3中的条件（A）（B）成立，未知参数α1按公式（2.3－6）进行更新

则耦合系统（2.1－8）和（2.3－4）能够实现定义2.3给出的混合同步。其中，各参数的值分别为σ＝25α＋10，r＝29α－1，β＝28－35α和b＝（8＋α）／3。

证明：给定以下Lyapunov函数(www.xing528.com)

其中，eα＝α－α1为参数估计误差，p＞0为常数。该函数沿误差系统（2.3－5）的导数为

将式（2.3－6）表示的参数更新律带入，得到

其中，

显然，为了保证误差系统（2.3－5）渐近稳定，矩阵Q必须是正定的。矩阵Q正定当且仅当定理2.3证明中的条件（C）（E）满足。容易看出，如果定理2.3中的条件（A）（B）满足，定理2.3证明中的条件（C）～（E）就能满足。因此，根据Lyapunov稳定性理论，误差系统（2.3－5）在e＝0处渐近稳定，耦合系统（2.1－8）和系统（2.3－4）能够混合同步，证毕。

从定理2.3和定理2.4可以看出，无论响应系统的参数已知还是未知，实现混合同步的控制条件都一样，只是参数未知时，需要一个参数更新律来识别未知的参数，因此，可以将参数已知的混合同步看作参数未知的混合同步的特殊情况。