混沌同步及图像加密算法

在三维猫映射（6.1－3）中，置乱的效果由参数a、b和n决定，替换操作由参数c和d决定。为了抵抗攻击者通过二维猫映射的周期性来攻击图像置乱的过程，同时提高置乱和替换过程对密钥的敏感性，映射（6.1－3）中的4个控制参数由另外两个混沌系统产生。这里利用二维Hénon映射来产生置乱参数a、b和n，利用改进的二维Logistic映射来产生替换参数c和d。

6.1.2.1　置乱参数的产生

Hénon映射是一个二维离散混沌系统，可以表示为

当1.025＜p≤1.4，q＝0.3时，系统表现出混沌行为，产生的混沌序列的取值范围为（－1.3，1.3）。通过选择合适的（x0，y0），产生10000个数据，去掉前4000个数据，设得到的混沌序列为S1＝｛（xi，yi）｜i＝1，2，…，6000。选择混沌序列S1的第r个数据用于产生控制参数a和b的值，产生的方式为

接着，从第r＋1个数据开始，从混沌序列S选择t个数据用于产生迭代次数n的值，产生的方式为

其中，k2＝T／2，T为二维猫映射（6.1－1）的周期。由于参数r、t和k1的值决定了控制参数a、b和n的值，这3个参数均可作为加密算法的密钥。这样，置乱参数a和b对Hénon映射的初始值具有很强的敏感性，攻击者很难根据猫映射的周期性来获得明文图像。

6.1.2.2　替换参数的产生

利用三维猫映射（6.1－3）进行像素值替换时，每当需要对一个像素值进行替换时，即采用改进的二维Logistic映射产生一对参数c和d，以便获得更高的随机性和不可预测性。二维Logistic映射可以描述为

映射（6.1－7）增加了三个二次项和xiyi来增加系统的复杂性。当2.75＜μ1≤3.4，2.7＜μ2≤3.45，0.15＜γ1≤0.21和0.13＜γ2≤0.15时，系统具有混沌现象，产生的混沌序列的取值范围为（0，1］。为了进一步增强产生的混沌序列的随机性，对映射（6.1－7）产生的混沌序列S′＝｛（xi，yi）｜i＝1，2，…｝进行如下处理

其中，Xi可以是xi或者yi，round（·）为四舍五入函数。这样处理后，混沌序列的取值范围将变成［－0.5，0.5］，需要进一步进行如下变换

此时，混沌序列的取值范围重新变回（0，1］。同时，与映射（6.1－7）产生的混沌序列相比，处理后的混沌序列具有更好的随机性。(www.xing528.com)

6.1.2.3　图像加密算法

基于三维猫映射的图像加密算法的加密过程如图6.1所示。

图6.1　图像加密过程示意图

从图6.1可以看出，整个加密过程围绕三维猫映射进行，当对明文图像进行像素位置置乱和像素值替换后，即可得到密文图像。设待加密的图像为I，整个加密过程描述为：

（1）置乱像素的位置。选择一组密钥（x0，y0），根据公式（6.1－4）产生混沌序列S1。选择密钥r、t和k1的值，根据公式（6.1－5）和公式（6.1－6）产生控制参数a、b和n的值。对图像I中每个像素点的位置（x，y），使用映射（6.1－1）迭代n次，可以得到置乱图像I1。

（2）替换像素的值。选择另外一组密钥（x′0，y′0），根据公式（6.1－7）产生另外一个混沌序列S2，并对该序列按照公式（6.1－8）和公式（6.1－9）进行相应的处理，设得到的混沌序列为S′2。对于图像I1中位置为（x，y）的像素点，设其像素值为z，从混沌序列S′2不断地获得数据（xi，yi），设c＝xi，d＝yi，根据公式（6.1－3）将其像素值改变为z′。当所有的像素点均进行像素值替换后，可以得到密文图像I2。

具体的加密算法描述见算法6.1。

6.1.2.4　图像解密过程

图像解密过程与图像加密过程类似，是加密过程的逆过程，即先恢复像素值，再恢复像素点的位置。首先，将密文图像I2的像素值恢复到原始值，对于位置为（x，y）、像素值为z′的像素点，其原始像素值为

p＝（2M＋p′－cx－dy）mod M

当所有像素点的像素值恢复原始值后，可以能够得到置乱图像I1，该图像是通过使用二维猫映射（6.1－1）迭代n次后得到的，如果继续使用二维猫映射（6.1－1）变换T－n次，即可得到明文图像。但由于二维猫映射的周期与图像大小有关，采用继续变换的方法来恢复图像将耗费较长的时间。为此，可以通过猫映射的反映射来解密置乱的图像，即执行如下的反映射

这样，将图像I1中位于（x′，y′）位置的像素点恢复到位于（x，y）的位置，即可得到明文图像I，解密过程结束。从该解密过程可以看出，如果攻击者不知道密钥，将很难得到正确的明文图像。