混沌同步方法及在图像加密中应用研究

混沌同步属于混沌控制的范畴。混沌控制是指人为地通过某种方法控制混沌系统使之发展到实际所需的状态，主要体现在以下三个方面：当系统的混沌特性对我们有利时，我们可以控制系统产生某种特点的混沌轨道；当系统的混沌特性对我们不利时，我们需要使用控制方法减弱或消除系统的混沌特性；通过使用外来的控制方法，使混沌系统产生各种输出。混沌同步问题可以看成是使被控混沌系统轨道按照目标混沌系统轨道运动的控制问题。事实证明，几乎所有的混沌控制方法都可以用来实现混沌同步，下面简单介绍几种混沌同步方法的原理及基本思想。

（1）驱动—响应同步法

T.L.Pecora和L.M.Carroll最早提出的混沌同步方法称为驱动—响应同步方法，也称为P－C同步法。该方法的最大特点是两个系统存在驱动和响应的关系，响应系统的行为取决于驱动系统。具体地，将混沌系统划分为两个子系统，一个是Lyapunov指数为负的稳定子系统，另一个是不稳定的子系统，将稳定子系统作为驱动系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。考虑一个n维自治混沌系统

将系统（1.2－3）拆分成两个子系统u＝（v，w）

其中，v＝（u1，…，um），g＝（f1（u），…，fm（u）），w＝（um＋1，…，un），h＝（fm＋1（u），…，fn（u））。

将系统＝h（v，w）作为驱动系统，复制一个与w完全相同的子系统w′作为响应系统

w′和w受相同的驱动变量v驱动，显然，w′和w同步的条件是：当t→∞时，Δw＝w－w′→0。据此，我们有

其中，Dwh（v，w）是响应系统的雅克比行列式对响应变量的偏导数，不考虑高阶项o（v，w），得

由于w受混沌信号v驱动，不能简单地通过求Dwh（v，w）的特征值来判断w的稳定性。

T.L.Pecora和L.M.Carroll对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，创建了用混沌信号驱动系统的稳定性理论，即只有当响应系统所有的条件Lyapunov指数都为负时，才能达到响应系统与驱动系统的同步。需要指出的是，某些实际的非线性系统无法分解成两个子系统，无法构造响应系统，使得驱动—响应同步法具有一定的局限性。

（2）耦合同步法

大量研究和实验结果表明，相互耦合的混沌或超混沌系统可以实现混沌同步。L.O.Chua和L.Kapitaniak等利用线性耦合的方法实现了两个Chua电路的混沌同步，并从理论上证明了耦合的强度必须足够大才能实现同步。在基于耦合的混沌同步方法中，总体系统不区分驱动系统和响应系统。因此，对于某些无法实现子系统分解的混沌系统，通常以相互耦合的方式研究同步问题，由耦合强度来决定混沌的同步。同时，不对混沌系统进行分解，也就不会改变原系统的动力学特性，系统达到同步后都还保持着原有的混沌特性。

线性耦合方法是实现混沌同步的一种简单而直观的方法，两个系统的单向线性耦合同步控制可以表示为

其中，x，y∈Rn，δ＝diag（δ1，…，δn）为对角阵，两个系统的同步问题可以转化为选择合适的δ，使得t→∞时，y（t）→x（t）。为此，有文献证明了线性耦合混沌同步的可控性，如果f1（·）＝f2（·），并且x（0）→y（0）足够小，存在n个有限值，i＝1，2，…，n，满足δt＞时，y（t）→x（t）。如果f1（·）≠f2（·），为简单起见，设δi＝k，i＝1，2，…，n，对于和足够小的｜x（0）｜＋｜y（0）｜，存在一个t0，在时间区间0≤t0＜∞内，随着ε→0＋，y（t）→x（t）。即随着时间的演化，有｜x－y｜→0，即耦合项趋向于0。

由于相互耦合的非线性系统在自然界普遍存在，许多学者对耦合同步方法进行了深入而广泛的研究。其中，耦合混沌系统同步的判定条件成为相关研究中的一个热点问题。一般来讲，要达到同步，耦合强度必须大于某一阈值，但有些系统当耦合强度大于一定限度时，又可能导致同步丧失或出现时空混沌。然而，目前对耦合强度值得选择并没有确定的说法，为了确保混沌同步性能指标达到最优，需要进一步研究混沌耦合同步的充分条件。

（3）自适应同步法

在实际的混沌同步应用中，通常会遇到混沌系统的结构未知、参数未知或者驱动系统和响应系统参数不匹配的情况，根据确定系统得到的同步控制策略不一定有效。此时，可以使用自适应控制技术来调整系统的未知参数，达到混沌同步的目的。这种自适应控制的核心思想是通过调整期望输出信号与实际输出信号之间的差来实现对混沌系统进行控制的。

1990年，A.Hubeman首次提出了自适应混沌控制方法。J.K.John和R.E.Amritker将自适应控制方法应用于混沌同步，实现了一个混沌系统的相空间与另一个不稳定轨道的同步。

考虑如下n维自治系统

其中，y＝（y1，y2，…，yn）是n维状态变量，μ＝（μ1，μ2，…，μi）是i维的系统参数，g（y，u）＝（g1（y，μ），…，gn（y，u））是关于y、μ的n维函数变量。设参数μ的取值能够保证系统（1.2－7）处于混沌状态，并设μ中的参数是可控的。设M（z）为系统的一个不稳定轨道，并将它设为目标轨道，z为目标轨道变量。该目标轨道可能是一个混沌轨道或一个不稳定周期轨道。将该目标轨道称为目标系统，受控系统称为响应系统。自适应控制的目标是对系统（1.2－7）引入一种控制机制，使得响应系统的变量y能够与目标系统的变量z实现同步。因此，在参数μi中引入一个很小的干扰，系统（1.2－7）变为

其中，为目标系统中与μi相对应的参数的值，ε为劲度常数，δ为阻尼常数，yj表示μi所在的方程对应的状态变量。函数h是关于（yj－zj）的连续函数，函数f是关于的连续函数。设(www.xing528.com)

研究表明，函数h和f取公式和公式时，可以实现目标系统与响应系统之间的混沌同步。

（4）主动控制同步法

主动控制同步法利用Lyapunov稳定性理论来设计同步控制器，主要思路是根据驱动系统和响应系统的误差系统，主动“补充”上所需的控制部分，实现误差系统的全局渐近稳定。主动控制同步方法是由美国学者E.W.Bai首先提出的，用于实现两个相同的Lorenz混沌系统之间的完全同步。在该方法中，驱动系统设为

响应系统设为

其中，μa（t）、μb（t）和μc（t）为响应系统引入的3个控制函数，分别定义为

其中，

τx、τy和τz表示三个控制器起作用的开始时间。参数Δ为驱动系统和响应系统之间的误差系统特征值的负实部。当满足Δ＞0时，反馈系统的所有特征值都具有负实部－Δ。此时，闭环系统将达到稳定状态，驱动系统（1.2－9）和响应系统（1.2－10）达到同步。

（5）反馈控制同步法

反馈控制同步法利用响应系统与驱动系统的误差信号，对响应系统施加反馈控制增益信号使得响应系统跟踪驱动系统，从而实现响应系统与驱动系统的同步。线性反馈方法通过线性反馈项实现混沌同步，该方法无论在理论还是物理上都比较容易分析与实现，因此利用线性反馈方法实现两个相同结构的混沌系统同步研究也愈加受到关注和重视。此方法的缺点主要表现在三个方面：一是高控制增益在实际工程中实现的难度大；二是有时非同步现象会在同步过程中出现，导致同步的稳定性不是很好；三是有时线性反馈法无法实现某些复杂混沌系统的同步。为了避免这些缺点，很多学者提出采用非线性反馈法来实现混沌系统之间的同步。非线性反馈法就是将反馈项取为非线性项，同时考虑反馈项与系统的非线性特征有关。考虑如下驱动和响应混沌系统

其中，x，y∈Rn为状态向量，C，B∈Rn×n为系统参数矩阵，f（x），g（y）为连续非线性函数，且满足全局Lipschitz条件，即存在常数L＞0使得‖f（x1）－f（x2）‖≤L‖x1－x2‖成立。u为非线性状态反馈控制器。

根据系统（1.2－11）和系统（1.2－12），可以得到同步误差动态系统

其中，e＝y－x为状态误差向量，G（x，e）＝g（x＋e）－g（x），h（x）＝（B－C）x＋g（x）－f（x）为干扰项。

为了去掉干扰项h（x），非线性状态反馈控制器可以设计为

u（x，e）＝－h（x）＋v（e）

其中，v（e）＝－Ke为线性状态反馈控制器，K为反馈增益矩阵。此时，同步误差动态系统（1.2－13）变成

其中，A＝B－K，当G（x，0）＝0时满足‖G（x，e）‖2≤L‖e‖2。

此时，只要设计合适的矩阵K，使得A满足Hurwitz矩阵或者采用Lyapunov稳定性理论即可实现驱动系统与响应系统的同步。

（6）其他同步方法

反推同步法利用递归思想，选择一系列的Lyapunov函数，设计控制器，使得含参数的严格反馈系统达到全局稳定。脉冲同步方法也是一种应用范围较广的控制方法，脉冲控制是基于脉冲微分方程的控制方法，在一个脉冲控制系统中，至少一个状态变量在至少一个脉冲时刻要发生状态跳变。基于观测器的混沌同步方法具有可靠性高、易于实现等优点。O.Morgul等首先将状态观测器理论引入混沌同步问题的研究中，并分析了线性观测器同步方案在测量噪声和参数失配方面的鲁棒性，给出了在同步信号的驱动下驱动系统和响应系统达到同步的必要条件，并给出了同步信号的选择步骤。

通过对以上几种混沌同步方法进行分析发现，每种控制方法各有优缺点。耦合同步和反馈同步采用的控制器通常比较简单，但这两种方法的通用性不强，一般只是针对某个特定的混沌系统。相比之下，主动控制和自适应控制方法的通用性较强。然而为了实现混沌同步，尤其是比较复杂的同步方式（如广义同步和投影同步），所使用的控制器往往都比较复杂，有时还需要使用非线性控制器。这些非线性控制项导致硬件实现困难，严重阻碍了混沌同步在实际应用中的发展。