数学和其他科学的发展一样，不少长期解决不了的问题，一旦出现了新的认识，或者把它们放到更大的范围去观察，常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现，是规尺作图三大难题走向解决的转折点。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样，都是哲学家兼数学家，他们都形成了各自的学派，有的数学史说：柏拉图主义者相信权威，笛卡儿学派相信理性，但是他们同样认为数学是科学之王。
1637年，笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的，书中引入了变数，创始了解析几何。
在初等数学中，基本的情况是几何是几何，代数是代数。人们研究和处理几何和代数问题，就方法而言是不同的。比方说，在平面几何中，要考查三点是否共线，或者四点是否共圆，虽然有时也利用某些代数知识，但是一般不讨论直线或者圆的方程，以及它们的解。
解析几何是用代数方法来研究几何图形，通过建立坐标系，在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁，人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目，例如写出它们的方程，用代数的方法加以解决；之后，再把得到的结果，“翻译”成几何的答案。这样，就不只增加了解决几何问题的思路和方法；而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚，使这些几何题化难为易了。
解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面，最先突破的是高斯。
1795年，高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久，他就按规尺作图法，作出了正十七边形。不久，他又提出理论，证明了按规尺作图方法，根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题，都是延续了2000多年没有得到解决的难题，被年轻的高斯解决了。特别是关于规尺作图法的不可能问题，是一项惊人的成就。他从思想方法上，促进了规尺作图三大难题的研究和解决。
数学难题的解决，往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果，先得了解一下费尔马数。
费尔马是一个很有成就的数学家，提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础；与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作；在光学中提出了费尔马极小时间原理；在数学中提出过无限下推法。不过，费尔马的不朽贡献，主要是在数论方面。
在费尔马一生的大量成就中，也包含着两项影响较大的不确切的工作；一项是他的一个猜想，被证明是错误的；另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理，在他宣称被他证明了的300年之后，人们还没有找到证明的方法，于是很多人便对他宣称有过的证明表示了怀疑。这里先介绍前一个猜想。
费尔马研究了形如22n+1的数，共中n是非负整数。他令n分别等于0，1，2，3，4，得到相应的22n+1如下表：
在这个表中，所有形如22n+1的数：3，5，17，257，65537都是素数。于是，费尔马发表猜想：形如22n+1的数，当n为非负整数时，都是素数。
后来，在数论中，把这样的数都称为费尔马数，记作Fn，即Fn=22n+1，n为非负整数。
但是，费尔马死了67年之后的1732年，25岁的数学家欧拉，证明了F5不是素数：
F5=25n+1=232+1
=4294967297
=641×6700417
这样一来，就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候，人们要判断F5是不是素数，还是相当困难的，因为事先并不知道要判断641是不是它的因数。(www.xing528.com)
后来，人们分别证明了n等于6到16的费尔马数，都不是素数；n等于17时是不是素数，到现在还是一个难题。n等于18以后，也分别找出了三四十个不是素数的费尔马数。
总之，除了原来已经知道的n等于0到4的这五个费尔马数是素数外，新的费尔马数是素数的，一个也没有找着。
这样，有一种相反的猜想已经提出来了：只有有限个费尔马数是素数。这也是一个难题。
高斯按规尺作图法作出了正十七边形后，紧接着就证明了一个关于规尺作图的重大定理：
如果一个奇素数P是费尔马数，那么，正P边形就可以用规尺作图法作出，否则就作不出来。
根据这个定理，F0=3，F1=5，F2=17，所以正三角形、正五边形、正十七边形都能作出，而7，11，13等素数都不是费尔马数，所以正七边形、正十一边形、正十三边形等都不能作出。
对应于F3的正257边形，是德国的黎克洛于1832年，用规尺作图法作出来的；对应F4的正65537边形，经德国的赫尔姆斯十年的研究，才按规尺作图方法作出来。黎克洛的作法，占了一本数学杂志的80页；而赫尔姆斯的手稿，装了整整一个手提箱，现在还保存在哥庭根大学。
高斯在数学的许多领域中，都作出了杰出的贡献，被称为“数学之王”。他一生工作严谨，生活简朴，坚持每天读报，喜爱文学和研究过多种外语，并且在物理学、天文学、测绘学方面，都作出了重要贡献。
高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形(也有的书上说是墓碑的底座是正十七边形)，以纪念他少年时代杰出的数学发现。
高斯的墓碑，也是解决规尺作图难题，在2000多年间的一块里程碑。
正多边形的作图问题，其实就是等分圆周的问题，它与三等分角问题有不少相似的地方。有了解析几何，有了高斯等数学家的经验，人们对规尺作图可能作出的与不可能作出的图形，逐渐有了深入的认识。其中，下面两个结论是很重要的：
1.在规定某一线段的长度是单位长度1后，如果我们要作的线段的长度，可以由单位长度1，经过有限次的加、减、乘、除、开平方(指正数开平方，并且取正值)后得出来，那么，这一线段就能用规尺作图法作出；
2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方所能作出的线段或者点。
但是，标准有了，三大作图难题的解决就提上日程了。
1837年，23岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角，不可能用规尺作图法解决的证明，宣布了2000多年来，人类征服初等几何三大难题夺得了重大的胜利。
我们知道，虽然有些角(例如直角)常以用规尺作图法三等分，但是有些角不可以(例如30°角)，所以要按规尺作图法三等分任意给定的角，就不可能了。
事实上，在1830年，19岁的法国数学家伽罗华，就提出了解决这一类问题的系统理论和方法，所以现在的专门著作，一般着重讲伽罗华理论，而把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决，当成这种理论的推论、例题或者习题。因此，后来对万彻尔的工作，并不十分注意。
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