稳定计算理论：版本的理论与实践

1.概述

稳定是桥梁工程中经常遇到的问题，与强度问题有着同等重要的意义。桥梁跨径的增大、桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用等，使得稳定问题更为突出。

结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。在桥梁结构中，总是要求其保持稳定平衡，即沿各个方向都是稳定的。

研究稳定可以从小范围内观察，即在邻近原始状态的微小区域内进行研究。为揭示失稳的真谛，也可从大范围内进行研究。前者以小位移理论为基础，而后者建立在大位移非线性理论的基础上，引出了研究结构稳定问题的两种形式：第一类稳定，分支点失稳问题；第二类稳定，极值点失稳问题。

实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类失稳。但是，由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义。

桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳。局部失稳是指部分结构（子结构）的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失稳。失稳事故的发生促使了桥梁稳定理论的发展。早在1744年，欧拉（L.Euler）就提出了压杆稳定的著名公式。

恩格塞（Engesser）等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论和折算模量理论。普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题的研究成果。

近代桥梁工程中由于采用了薄壁轻型结构，又为稳定问题提出了一系列新的实际课题。瓦格纳及符拉索夫等人关于薄壁杆件的弯扭失稳理论，证明其临界载荷值大大低于欧拉理论的临界值，同时又不能用分支点的概念来解释。因而，引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论。

研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法（Euler方法）、能量法（Timoshenko方法）、缺陷法和振动法。

静力平衡法是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态。其实质是求解弹性系统的平衡路径（曲线）的分支点所对应的载荷值（临界载荷）。能量法则是求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值。缺陷法认为：完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不存在的。

由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视缺陷程度而定。在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著，只是当载荷接近完善系统的临界值时，变形才迅速增至很大，由此确定其失稳条件。

振动法以动力学的观点来研究压杆稳定问题。当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动，如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。

以上4种方法对于欧拉压杆而言，所得到的临界载荷值是相同的。如果仔细研究一下，可以发现它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面：

1）静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、P2、…、Pn时，压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最可能，并无抉择的条件。同时在P≠P1、P2、…、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答直线形式的平衡是否稳定的问题。

2）缺陷法的结论也只能指出，当P=P1、P2、…、Pn时，杆件将发生无限变形，因此是不稳定的。但对于P在P1、P2、…、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。

3）能量法和振动法都指出，P＞P1之后无论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全一致。

由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题。大量使用的是稳定问题的近似求解方法，归结起来主要有两种类型：一类是从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解，如逐次渐近法。另一类是基于能量变分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。当今非线性力学将有限元与计算机结合，得以将稳定问题当作非线性力学的特殊问题，用计算机程序实现求解，取得了巨大的成功。

2.第一类稳定有限元分析

根据有限元平衡方程可以表达结构失稳的物理现象。在T.L列式下，结构增量形式的平衡方程为：

（⁰（K）₀+（K）σ+⁰（K）_L）（Δu）=⁰（K）_T（Δu）=（ΔR） （1-118）

U.L列式下，结构的平衡方程为：

（^t（K）₀+^t（K）_σ）（Δu）=^t（K）_T（Δu）=（ΔR） （1-119）(www.xing528.com)

发生第一类失稳前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此，式（1-118）中大位移矩阵⁰（K）L为0。在U.L列式中不再考虑每个载荷增量步引起的构形变化，因此，无论T.L列式还是U.L列式，结构的平衡方程的表达形式是统一的，即：

（（K）+（K）σ）（Δu）=（ΔR） （1-120）

在结构处在临界状态下时，即使（ΔR）→0，（Δu）也有非零解，按线性代数理论，必有：

丨（K）+（K）丨σ=0（1-121）

在小变形情况下，[K]_σ与应力水平成正比。由于假定发生第一类失稳前结构是线性的，多数情况下应力与外载荷也为线性关系，因此，若某种参考载荷对应的结构几何刚度矩阵为，临界载荷为，那么在临界载荷作用下结构的几何刚度矩阵为：

于是式（1-121）可写成：

式（1-123）就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。

一般来说，结构的稳定是相对于某种特定载荷而言的。在桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力（这部分必须按施工过程逐阶段计算）和后期载荷（如二期恒载、活载、风载等）引起的内力两部分组成。因此[K]_σ也可以分成一期恒载的几何刚度矩阵（K₁）σ和后期载荷的几何刚度矩阵（K₂）_σ两部分。

当计算的是一期恒载稳定问题时，（K₂）σ=0，（K）_σ可直接用恒载来计算，这样通过式（1-123）算出的λ就是一期恒载的稳定安全系数；当计算的是后期载荷的稳定问题时，恒载（K₁）_σ可近似为一常量，式（1-123）改写成：

丨（K）+（K₁）σ+λ（K₂）σ丨=0 （1-124）

形成和求解式（1-124）的步骤可简单归结为：

1）按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度矩阵[K₁]_σ；

2）用后期载荷对结构进行静力分析，求出结构初应力（内力）；

3）形成结构几何刚度矩阵[K₂]_σ和式（1-124）；

4）求解式（1-124）的最小特征值问题。

这样，求得的最小特征值λ就是后期载荷的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。

3.第二类稳定有限元分析

第二类稳定是指桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使结构切线刚度矩阵趋于奇异时，结构承载能力就达到了极限，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。

从力学分析角度看，分析桥梁结构第二类稳定性，就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的结构平衡方程，寻找结构极限载荷的过程。

全过程分析法是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方法，它通过逐级增加工作载荷集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。