数学文化选粹：对称美的奥秘

对称表现的是一种均衡、稳定与完美，亦是一种统一与和谐，并以又一种方式向人们展现宇宙的同一性。庞加莱说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风。那么，到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平衡。一句话，那就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。”

数学中的对称美随处可见。平面上的圆是关于圆心和过圆心的任何直线都对称的图形，空间的球是关于球心的任何直线、平面都对称，加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、集合论中的交与并、逻辑代数中的与门与或门、合取与析取都具有一系列彼此对称的性质。

下面我们由法国数学家、建筑师德萨格初步建立起来的射影几何理论中对直线与点的对称性的理解与描述来加深我们对对称美的理解。我们知道，在欧氏几何中，点与直线的对称性是完全对应的，例如，过两点总可作一条直线，但两直线并不总有一个交点，因为两直线平行时就没有了交点。但如果我们设想两平行直线在无穷远点相交，那么就形成了完全对应关系。正是基于这种对对称性的着迷使得德萨格推进了几何学的发展。在射影几何中，点与直线始终具有“对偶”的重要特性，例如：

1）两点确定一直线，两直线确定一点。

2）不共线的三点唯一地确定一个三角形，不共点的三直线唯一地确定一个三角形（这个三角形的一个定点可能在无穷远点）。

这样，在欧氏平面几何中的定理与射影几何中的定理之间也构成了一种对称关系。在平面几何的定理中，若将其中的“点”换成“直线”、“直线”换成“点”，就可得到相应的射影几何中的定理。例如，著名的德萨格定理与其对偶定理：

1）若两个三角形对应顶点的直线共点，则其对应边上的交点共线。

2）若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。(www.xing528.com)

对称美还表现在许多公式和运算之中。我们来看一下牛顿二项式与杨辉三角中所表现出来的对称美。大家知道，著名的牛顿二项式公式：

注意到系数的对称性：C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n ，…，就可定出：

在这个式子中，a与b位置交换的结果是不变的。把这个式子右端的系数按n＝1，2，…，排列出来就是著名的杨辉三角：

不用计算，你就可以根据对称性及上排的数字写出下排的数字来，并一直如此地写下去。

我们再来看集合论上的德·摩根律所表现出来的对称美。设A、B是两个集合，则有

推广的情形是

数学对称美的精华更体现在群论之中。大家知道，一次到四次方程解的问题经过历代数学家的努力，都获得了圆满的解决。但五次以及五次以上的高次方程的求解问题，持续了3个多世纪都没有得到解决。直到1832年，法国年轻数学家伽罗瓦用对称性的思想解决了这个代数学发展史上的难题，开辟了代数学的一个崭新方向——群论。美国数学家阿尔佩林指出：“群是数学中伟大的概念之一。它来自数学对象和科学对象的对称性研究。十分惊人的是，这些对称性的考察导致深邃的洞察，绝非直接观察所能迄止；尽管群的概念不难解释，这个概念应用却极为深远，并非全然浮于表面。”限于篇幅与数学问题的复杂性，在此我们就不再详述。