数学文化选粹：阿尔贝蒂的透视学革命

文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画的本质区别在于引入了三维，也就是在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面只有通过光学透视体系的表达方法才能得到。这方面的代表是14世纪初的杜乔（Duccio di Buoninsegna， 1255—1319）和乔托（Giotto di Bondone，1276—1336），他们作品中出现的几种方法成为射影几何（或透视几何）数学体系发展过程中的一个重要阶段。

杜乔和乔托把欧几里得几何带回了美术界，画面上的景物有了一定的质量和体积，而且彼此相关，构成了一个整体，平面被缩小了，光线和阴影用来暗示体积。杜乔和乔托都注意到，在构图上应把视点放在一个静止不动的点上，并由此引出一条水平轴线和一条竖直轴线。

技巧和观念上的进步则应归功于洛伦采蒂（Ambrogio Lorenzetti，1323—1348）。他画中的线条充满生机，画面健康活泼，富有人情味。到15世纪，西方画家们终于认识到，必须从科学上对光学透视体系进行研究。对更精细的透视法进行系统阐述（约1413年）的第一人，是菲利波·布鲁内莱斯基（Brunelleschi，1377—1446），他建立了一个透视体系。他发明了单一灭点（也称焦点）的概念，即画中的全部平行线都应该汇聚一点。他还设计了一种精确的算法，用于确定一个物体的实际长度和它在画中的“视觉长度”之间的关系，这决定于物体离观察者的距离。利用这些数学原理，他在木头画板上画了两幅示范性的画，画的是佛罗伦萨的房子，用的是正确的透视法。其中一幅是八边形的圣约翰洗礼堂。可惜这些画都被遗失了。

第一个将透视画法系统化的是阿尔贝蒂（Alberti，1404—1472），其著作《论绘画》一书于1435年出版。他认为做一个合格的画家首先要精通几何学，并认为借助数学的帮助，自然界将变得更加迷人。阿尔贝蒂抓住了透视学的关键，即“没影点”（艺术上称为“消失点”）的存在。他大量地使用了欧几里得几何的定理，以帮助其他艺术家掌握这一新技术。关于投影点发现的意义，鲁塞尔这样评论：“透视原理把只有唯一一个视点作为第一要素，这便使视觉体验建立在一个稳定的基础上。于是在混沌中建立了秩序，使相互参照实现了精密化和系统化。”

数学透视体系的基本定理和规则是什么呢？假定画布处于通常的垂直位置，从眼睛到画布的所有垂线，或到画面延长部分的垂线都相交于画布的一点上，这一点就是主投影点。主投影点所在的水平线称为地平线。如果观察者通过画布看外面的空间，那么这条地平线将对应于真正的地平线。

在意大利文艺复兴时期的艺术家中，用数学研究透视法最深入的是15世纪最重要的数学家之一的皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca，约1412—1492）。皮耶罗把关于算术、代数和几何的材料归总在《论算盘》一书中，极大地丰富了阿尔贝蒂的学说。他写了3篇重要论文，证明利用透视学和立体几何原理，可从数学中推出可见的现实世界。从此，这门新科学得到了广泛的普及和应用。

1．卢卡·帕乔利与《神圣比例》

文艺复兴时期关于几何比例的古典文本，是卢卡·帕乔利的《神圣比例》。列奥纳多·达·芬奇独家为其作插图，出版于1509年，影响极大。

卢卡·帕乔利（Luca Pacioli，约1445—1517），小时候生活在意大利的桑塞波克罗，在皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的画室里学习绘画。皮耶罗是帕乔利的老师之一，他对优雅的比例并不陌生，帕乔利的论著深受皮耶罗的影响。

帕乔利搬到了威尼斯。在那里，他和莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂住了几个月，后者是文艺复兴时期最伟大的艺术家和建筑家之一，而且还是一位出类拔萃的学者和数学家。

在其后几年的某个时候，帕乔利成了圣芳济会的修道士，这就是为什么雅各波·狄巴巴里在那幅著名的肖像里面将他画成穿着僧袍的原因。

1477—1480年，帕乔利在佩鲁贾大学（Perugia University）讲课，这期间他为弟子们写了一部关于算术的著作。1489年，在罗马待了两年之后，帕乔利回到了桑塞波克罗，开始创作第二本著名的著作《算术、几何、比及比例概要》（Summa de Arithmetica， Geometria，Proportioni et Proportionalita）。该书包括算术、代数、几何和三角学的内容，并为随后的欧洲数学大发展提供了基础。

1496年前后，卢卡·帕乔利应邀去米兰公国讲授数学，他很快和达·芬奇成为密友，毫无疑问，他们曾经广泛讨论过数学和艺术。当时卢卡·帕乔利已开始写作《神圣比例》，但是他发现有能力为自己的书画插图的神学家却寥寥无几！这本书集中研究在艺术和建筑设计中都很重要的“神圣比例”，以及与这种比例相关的欧几里得几何定理。该书还探索了规则和半规则的多面体。

帕乔利和达·芬奇于1499年12月双双逃到了佛罗伦萨。3个月后，法国占领了米兰。1500年，帕乔利受命在比萨大学教几何学，他在这里一直待到1506年。在佛罗伦萨的这段时间，帕乔利既研究数学，也从事宗教事务。1509年，他出版了三卷本的《神圣比例》，还把欧几里得的《几何原本》翻译为拉丁语。有些批评家指出，帕乔利关于比例的一些想法其实是皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的。尽管帕乔利的著作缺乏原创性，但他对数学的贡献以及他的著作的影响，却是很重要的。

当时用于绘画的焦点透视法，事实上是几何知识和光学知识的一种结合，如图8－3所示。运用这一方法，艺术家们准确地解决了景物在画面中的大小比例关系。远处的物体在画面中较小，近处的物体在画面上则较大，这一切都可以用焦点透视系统中给出的数学方法做出科学的处理；另外，相应的基本原理又都建立在数学的严格演绎论证之上。从而，在绘画的焦点透视系统中绘画与数学就得到了完美的结合，而后者则又可以看作是文艺复兴时期对古希腊文化中数学理性热切追求的一个直接结果。

2．达·芬奇对透视法的运用

图8－3

列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vnci，1452—1519）在1505年写道：“比例不仅存在于数字和尺寸中，也存在于声音、重量、时间、位置以及无论什么力量中。”但是，如果透视法不对，比例就毫无用处。(www.xing528.com)

意大利著名画家、雕塑家、建筑家和工程师达·芬奇是文艺复兴时期的一个重要代表人物，而数学的方法、数学的理性则又可以被看成是推动达·芬奇走向艺术和事业顶峰的重要动力，他对透视学作出了巨大贡献。他认为视觉是人类最高级的感觉器官，人观察到的每一种自然现象都是知识的对象。他用艺术家的眼光去观察和接近自然，用科学家孜孜不倦的精神去探索和研究自然。深邃的哲理和严密的逻辑使他在艺术和科学上都达到了顶峰。他通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，为从事绘画做好了充分的准备。他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学中看出来，用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。”

达·芬奇坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确的再现。因此绘画是一门科学，和其他科学一样，其基础是数学。他指出，任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路。

透视学的诞生和使用是艺术史上的一个革命性的里程碑。艺术家从静止点出发去作画，便能把几何学上的三维空间以适当的比例安排在画面上，这就使得二维提升到了三维空间。

达·芬奇创作了许多精美的透视学作品。他最优秀的杰作都是透视学的最好典范，《最后的晚餐》（图8－4）一画描绘出了真情实感。一眼看去：墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在耶稣头上，从而使得人们将注意力集中于耶稣。耶稣与12个门徒共进晚餐，12个门徒分成4组，每组3人，对称地分布在耶稣的两边；耶稣本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于表达耶稣的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态（图8－5给出了原画的数学结构图）。在这幅画中，天花板上的线、墙壁和窗户的边线，戏剧性地会聚于基督头上的一点。实际上，该画中共有13条这样的辐射透视线。每个门徒都有一条透视线，耶稣也有一条。甚至桌子下用砖铺成的地板缝，也具有一定的透视效果。达·芬奇的构图是使他们全部面向观众，一字排开，坐在正中的耶稣头部正好受到中间亮光的衬托，精心构思的光线效果使中心位置的耶稣成为整个画面的中心。这幅作品挂在米兰圣玛丽亚教堂餐厅的正面墙壁上，画面屋顶和墙壁的透视线与餐厅建筑的实际透视相衔接，以耶稣头部后面的一点为焦点，长长的画面构成了一个完整的焦点透视系统。透视学的方法在这里得到了准确的应用，画面把人物的情感、形态、心理准确地融为一体。

对数学透视体系表达最清楚的是荷兰著名风景画画家霍贝玛（Meindert Hobbema，1638—1709）的《林荫道》，如图8－6所示。在图8－6（1）中，我们标出了主投影点和地平线。这是一幅平凡中见奇崛的作品，构图极具匠心。在一条不宽的乡村大道上，有两排尚未成荫的幼树，主投影点正好在两行树的中间，近大远小的透视变化十分明显，但这种画法难于画得正确，又很容易流于呆板。霍贝玛把林荫道的位置略为左移，并使幼树的间隔疏密不同，弯曲摇曳的姿态各异，使一个本来非常均匀整齐的画面，变得生动多姿。图8－6（2）是这些概念的直观化，表示观察者所看到的林荫道，其眼睛的位置处于与画面垂直且通过P点的垂线上。P点是主投影点，D1PD2就是地平线。

图8－4 《最后的晚餐》

图8－5 《最后的晚餐》数学结构图

图8－6 《林荫道》及其透视分析

关于透视绘画有几个重要的定理：

定理1 景物中所有与画布所在平面垂直的水平线在画布上画出时，必须相交于主投影点。

例如，在图8－6（2）中，AA′、EE′、BB′和其他类似的直线都在P点相交，也就是所有实际上平行的线都应该画成相交，这与我们的日常经验相符合。大家知道，两条铁轨是相互平行的，但是在人眼看来相交于无穷远处，这就是为什么把P点称为投影点。但是现实的景物中没有一个点与之相应。

一幅画应该是投影线的一个截景。从这条原理出发可以得到另一个定理。

定理2 任何与画布所在平面不垂直的平行线束，画出来时与垂直的平行线相交成一定的角度，且它们都相交于地平线上的一点。

在水平平行线中有两条线非常重要。在图8－6（2）中，AB′和EK在现实世界中它们是平行的，并且与画面所在的平面成45°角。AB′和EK相交于D1，这个点称为对角投影点。PD1的长度等于OP的长度（从眼睛到主投影点的距离）。类似地，水平线BA′和EL在现实世界中与画布成135°角，画出来时，必须相交于第二个对角投影点D2，而且PD2的长度也等于OP的长度。随着观察者，实际景物中上升或下降的平行线被画出来时，也必须相交于相应的地平线上的上方或下方的点。这个点将位于从眼睛发出的平行于所讨论的穿过画布的那条线上。

定理3 景物中与画布所在平面平行的平行水平线，画出来是水平平行的。

数学对绘画艺术做出了贡献，绘画艺术也给数学以丰厚的回报。画家们在发展聚集透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了一个全新的数学方向——射影几何的发展。限于篇幅与知识，我们就不再对射影几何作进一步的介绍。