几何学的诞生与射影几何的发展-数学文化选粹

除了欧氏几何与非欧几何学之外，现代几何学还包括解析几何、微分几何、代数几何、射影几何、仿射几何、算术几何、谱几何、非交换几何、双曲几何、辛几何、复几何等众多分支。我们这里只简单地介绍一下大学期间工科院校学生接触到的解析几何和射影几何。

1．解析几何

17世纪前半叶，在数学中产生了一个全新的分支——解析几何。欧氏几何是一种度量几何，它关心的是长度、角度问题，而解析几何（analytic geometry）是借助坐标系，用代数的方法来研究几何对象及其性质，所以，解析几何也称为坐标几何。解析几何的实质在于变换—求解—反演的特性，即首先把一个几何问题变为一个相应的代数问题，然后求解这个代数问题，最后反演代数解而得到几何解。因此，当代数学方法和代数学符号得到充分发展以后，解析几何才能具有高度实用的形式。解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑，它的创始人是笛卡尔和费马。

笛卡尔（R．Descartes，1596—1650）是法国大数学家，早年学习法学，后来转向数学和数学研究。1637年出版的名著《方法论》中的《几何学》，宣布了解析几何的诞生。全书分成3卷：第一卷把线段和数量（长度）联系了起来，把几何问题代数化，用方程表示线段和数量之间的关系；第二卷把平面上的点与坐标（x，y）对应起来，把曲线化成含有两个变量x与y的方程；第三卷讨论了代数方程理论。笛卡尔的数学格言是：“一切问题都可以化成数学问题，一切数学问题都可以化成代数问题，一切代数问题都可以化成方程求解的问题。”

笛卡尔的理论以两个概念为基础——坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念。

（1）坐标概念

解析几何的基本思想是引进坐标，即对一个几何对象附上或者标上数，从而完全刻画了这个对象。大多数读者都知道这个坐标就是直角坐标或笛卡尔坐标，它用来刻画平面上任意一点A的位置。首先我们在平面上作一对固定的垂线，以此作为每个点所参照的x轴和y轴，把这两条直线看成是有方向的数轴并且用同样的单位来度量。

引入坐标系后，平面上的任意一点A可以与一对有序实数（a，b）建立一一对应关系，这就把几何上的点与数对应了起来。如果a、b都是正的，A在坐标系的第一象限（图5－5）；如果它们都是负的，则A在第二象限；如果a是正的而b是负的，则A在第四象限；如果a是负的而b是正的，则A在第三象限。

图 5－5

坐标为x1、y1的点P1和坐标为x2、y2的点P2的距离公式为

d2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2

这由勾股定理可立刻得出，也可以从图5－6中看出。

（2）利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念

对于平面上的任意一条曲线，都可以看成是含有两个变量的方程f（x，y）＝0。例如，x2＋y2＝1就是我们非常熟悉的圆心在原点的单位圆（图5－7）。

图5－6 两点间的距离

图5－7 单位圆

而以任一点A（a，b）为圆心、半径为r的圆的一般方程，我们也很熟悉，该方程是

（x－a）2＋（y－b）2＝r2

直线方程的形式更简单，例如我们非常熟悉的x轴的方程为y＝0，因为y＝0对x轴上所有点都成立，而对其他的点则不成立。同样的道理，y轴的方程为x＝0。而经过原点二等分两条坐标轴之间的夹角的直线方程是x＝y和x＝－y，任意直线有形如

ax＋by＝c

的方程，这里a、b、c是刻画直线的固定常数。

解析几何的基本思想就是基于以上的两个概念，用代数的方法研究几何学，实现了图形与数据的完美结合。有了代数的融入，人们对事物图像的认识也不仅仅局限于平面，可以将平面（二维空间）扩充到空间（三维空间）甚至更高维的空间。

例如，x2＋y2＝1是平面上以原点为圆心的单位圆，在空间上可以看作是以这个单位圆为准线、母线平行于z轴的柱面。

x2＋y2＋z2＝1是空间中以原点为球心的单位球面。

如果我们再扩充变量x1，x2，…，xn呢？那么对于事物的认识，就有了更宽广的空间。

笛卡尔利用代数来研究几何，而法国的另外一位数学家费马则从另一出发点独立地进行了解析几何的初创工作。费马主要是从不定方程解的作图这一角度开展解析几何工作的。(www.xing528.com)

解析几何的创立使数学研究有了行之有效的方法。几何概念可以用代数表示，反过来给代数以几何解释，可以直观地掌握代数语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。18世纪著名数学家拉格朗日这样评价解析几何：“只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。”

笛卡尔所取得的进展是基于这样一个事实：他证明了的几何问题可以归结为代数形式的问题。因此，在求解时可以运用代数的全部方法。同时，由于代数语言较几何语言有启发性，所以在问题改变形式后，只要进行一些代数变换，就可以发现很多性质，这是我们预想不到的。此外，由于笛卡尔采用代数的语言来表述几何性质，这就使得许多几何上面的定理得到了简单的证明，这些定理用传统的几何方法来处理是很困难的。

2．射影几何

文艺复兴时期，绘画艺术的盛行促进了绘画理论的发展，透视法成为一门几何与绘画相结合的热门学科，透视问题被达·芬奇（Leonardo da Vinci）和杜勒（A．Direr）等艺术家研究过。一个画家作的画可以认为是从原景到画布上的一个投影，投影的中心是画家的眼睛，在这个过程中，长度和角度是要经过改变的，但是这种改变在画布上所表现出来的跟原景比例是一致的，即我们在画布上能够看出原景的几何结构。这是为什么呢？因为存在“射影下不变”的几何性质。射影几何方面的工作正是想给画家提供一些帮助而产生的。1435年，意大利阿尔贝蒂（L．B．Alberti，1404—1472）的《论绘画》，从分析写生画的数学原理入手，提出灭点概念，并利用网格作透视的方法，阐述了最早的数学透视法思想。他引入投影线和截景的概念，提出在同一投影线和景物的情况下，任意两个截景有何共同的数学性质等问题，这些问题成为射影几何发展的起点，启示了后继数学家对摄影性质的研究。

射影几何学（Projective geometry）是研究图形的射影性质，即图形经过射影变换不变的性质的几何学。射影几何学也被称作投影几何学。

我们首先看看射影几何中的一个基本概念：射影变换。首先假设我们在空间有两个平面π和π′（彼此不一定平行），这时我们可以从不在π和π′上的一个给定中心O出发，实现π到π′上的一个中心投影：定义π上的每一点P的像是π′上的点P′，这一对点P和P′位于经过O的同一直线上。我们也可以作一个平行投影，这时投影线全是平行的。用同样的方式，通过以π上一点O为中心的中心投影或通过平行投影，我们能定义出平面π上的直线l到π上另一条直线l′的投影。

用中心投影或平行投影，或用一系列有限次这样的投影，把一个图形变成另一个图形的任何变换称为射影变换。平面或直线的射影几何是由这样一些几何命题组成的：对这些命题中所涉及的图形进行任意的射影变换都不影响这些命题。相反，所有那些关于图形度量性质的命题（它们只在刚体运动类下不变），我们称它为度量几何。

某些射影性质能立刻被人认识。一个点当然投影成一个点，而且一条直线被投影成一条直线，因为如果π上一直线l投影到平面π′，则π′和通过O和l的平面将交于直线l′。如果点A和直线l是关联的，则经过任何射影，相应的点A′和直线l′仍是关联的。因此，点和直线的关联在射影群下是不变的。从此事实可以得出许多简单而重要的结果：如果3个或者更多个点共线，即与某一条直线关联，则它们的像也是共线的；同样，如果平面π上3条或更多条直线是共点的，即与某个点关联，则它们的像也是共点的直线。这些简单性质——关联、共线、共点就是射影性质（即在射影下保持不变的性质），长度和角度以及这些度量的比值，在射影时一般是改变的。等腰三角形或等边三角形可以射影成一个各边不等的三角形。因此，虽然“三角形”是射影几何的一个概念，但“等边三角形”却不然，它只属于度量几何。

射影几何学理论的基础工作是由两位法国数学家做出的，他们是德扎格和帕斯卡。

1）德扎格（G．Desargues，1591—1661）在1636年就阐述了透视绘图的一般方法，指出在什么情况下经过透视后，平行直线变成相交直线或仍保持平行。他明确地认识到直线的平行关系在透视下要改变，有著名的德扎格定理：如果平面上两个三角形ABC和A′B′C′所处的位置能使连接对应顶点的直线交于一点O，则对应边的延长线的3个交点共线。图5－8就说明了这个定理。当且仅当其对应边的交点共线，这是射影几何的基本定理，由此可以推出一系列命题。

两个三角形处于两个不同的（不平行的）平面上，德扎格定理仍然成立，而且在三维几何中德扎格定理是很容易证明的。根据假设，如果直线AA′、BB′、CC′交于一点O（图5－9），则AB和A′B′在同一个平面上，从而两条直线交于某点Q；同样地AC和A′C′交于R，BC和B′C′交于P。由于P、Q、R在三角形ABC和A′B′C′的边的延长线上，它们和这两个三角形的每一个都共处在同一平面上，所以必然是在这两个平面的交线上。因此，P、Q、R是共线的，而这正是我们所要证明的。

图5－8 平面中的德扎格图形

图5－9 空间中的德扎格构型

是否可以用这样的方式在二维中来证明这个定理，比如说用一个极限过程，把整个图形压平，使得两个平面在极限时重合，而且O点和所有其他的点都一起落在这个平面上。但进行这样一个极限过程则有一定的困难，因为当平面重合时，交线PQR不能唯一确定，然而图5－8可以看成是图5－9空间图形的一个透视图，这个事实能用来证明平面情形下的这一定理。

德扎格的另一基本理论为：交比在投影下的不变性。如图5－10所示，一直线上A、B、C、D四点所形成的诸线段的交比定义为。

图5－10

德扎格证明了投影线的每个截线上的交比都相等。即如果A、B、C、D和A′、B′、C′、D′是两条直线上与一射影相关的对应点，则

这里可以用初等方法来证明。我们知道：一个三角形的面积等于底乘高的一半，或等于两边及其夹角的正弦乘积的一半。在图5－11中有（h为三角形AOD底边AD上的高）：

由以上公式可以看出，点A、B、C、D的交比仅仅依赖于O点与A、B、C、D的连线所成的角。由于对从O点射影A、B、C、D而得到的任意4个点A′、B′、C′、D′来说，这些角都是相同的，所以在射影下交比保持不变。

2）帕斯卡（B．Pascal，1623—1662）在1639年写过关于圆锥曲线的著作，其中有著名的帕斯卡六边形定理：内接于一个圆锥曲线的六边形，它的三双对边的交点共线。

图5－11 中心投影下，交比的不变性

1640年，帕斯卡研究了德扎格射影几何的著作后，写了一篇《圆锥曲线论》（Essay pour les coniques）在巴黎发表，陈述了他利用射影几何原理得到的圆锥曲线的许多性质，并重申了上述定理，还给出了进一步研究的计划。这篇文章也仅少量引用，同德扎格的工作一样，当时也未受到重视，原文也一度失传，直到1779年才被重新发现，后随射影几何的复兴而广为流传。

除了上述两位的工作外，另一法国数学家拉伊尔在创始阶段也做出过一定的贡献。他在1673年用射影方法研究圆的配极性质，并将其结论推广到其他二次曲线。1685年，他用综合方法证明了几乎圆锥曲线的已知所有性质，有300个左右的定理，得到有关极点和极带等方面的定理。拉伊尔的父亲是德扎格的学生，拥有德扎格1639年论著的原印本，后由拉伊尔手抄下来，19世纪发现的正是这部手抄本。拉伊尔是17世纪射影几何为数不多的继承者之一，在保存射影几何原始文献方面功不可没。

【思考题】

简述微积分与“我”的专业。