当球心位于回转体的轴线上时,球面和回转体表面的交线是垂直于回转轴的圆。若此时回转体的轴线又平行于某一投影面,则该圆在投影面上的投影积聚为一条垂直于回转轴的直线段。
图7.33(a)所示球心位于直立圆柱的轴线上,它们的表面交线是两个等径的水平圆K1和K2。
图7.33(b)所示球心位于正圆锥的轴线上,它们的表面交线为大、小两水平圆K1和K2。
图7.33(c)所示球心位于斜圆柱的轴线上,斜圆柱的轴线平行于V面,此时它们的表面交线为两个等径的圆K1和K2。两圆都垂直于V面,其V投影为垂直于圆柱轴线的两直线段,H投影为两个相同的椭圆k1和k2。
由上述现象可知,求两回转体的表面交线时,两回转体的轴线相交,且两轴线同时平行于某一投影面,则可用以两轴线交点为球心的球面为辅助面来求两回转体表面的共有点。
图7.33 球心属于回转体的轴线时,球与回转体的相贯线
【例7.21】如图7.34所示,求圆锥和圆柱的交线。
图7.34 以球面为辅助面求圆锥与圆柱的相贯线
【解】分析:①由于H投影前后对称,故相交线也前后对称。再由两投影观察,圆柱虽全贯入圆锥,但未贯出,故只求一组相交线。(www.xing528.com)
②两立体都是回转体,且轴线都平行于V面并相交于一点,若以两轴线交点O为球心的球面为辅助面,则球与两回转体表面的交线都是圆。这些圆的V投影都垂直于各自轴线的直线段,它们的交点就是相交线上的点的V投影。
投影作图:
①相交线上的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ是圆柱的最高和最低素线与圆锥最左素线的交点。可先在V投影上直接定出点1′和2′,然后由1′和2′而得1和2。
②求相交线上的一般点。以两回转体轴线的交点O为球心,以适当的长度R为半径作辅助球。此球与圆锥相交于水平圆K1和K2,与圆柱相交于圆K3。它们的V投影都积聚为直线段k′1、k′2和k′3。k′1、k′2和k′3的交点5′、6′和7′、8′,便是属于相交线的点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的V投影。它们的H投影利用水平圆K1和K2的H投影k1和k2来求出。
辅助球的半径R应在最大半径Rmax和最小半径Rmin之间。从V投影可知Rmax=0′1′,因为半径大于0′1′的球面与圆锥和圆柱的截交圆不能相交。最小半径Rmin为与圆锥相切的球和与圆柱相切的球二者中半径较大者,在此应为与圆锥相切的球半径。若球半径比切于圆锥的球半径还小,则此球与圆锥无截交线。
图中的点Ⅲ(3,3′)和Ⅳ(4,4′)就是以与圆锥相切的球为辅助面而求得的。在最大球和最小球之间还可作更多的球面为辅助面,以求得属于相交线的足够数量的点。
③连点成相交线。先连V投影1′—5′—3′—7′—2′为曲线,此曲线与圆柱最前和最后的素线交于1′和m′(m′和1′重合),便是相交线的最前点L和最后点M的V投影;它们的H投影1和m由1′和m′求出。
圆柱的最前素线和圆锥面的交点L(1,1′)还可用过此素线和锥顶的平面P与锥面交于素线的方法来作,图中未示出。
相交线的H投影为曲线2—7—1—3—5—1—6—4—m—8—2,连此曲线时应注意它对水平中心线的对称性。
④判别可见性:在V投影上,相交线的不可见部分2′—8′—m′—4′—6′—1′和可见部分2′—7′—1′—3′—5′—1′重合。在H投影上,1—3—5—1—6—4—m属于圆锥与圆柱的可见表面,故可见,画为实线。m—8—2—7—1属于柱的后半表面,为不可见,画成虚线。
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