魔鬼数学：疯狂绵羊与悖论的较量

我们把伯灵顿市市长选举简化一下，假设一共只有三种选票：

在饼形图中，比较代表基斯与赖特的两个部分，我们可以发现多数选民对赖特的支持度高于蒙特尔；比较代表蒙特尔与基斯的两个部分，我们可以发现多数选民对基斯的支持度高于赖特。如果大多数人对基斯的支持度高于赖特，大多数人对赖特的支持度高于蒙特尔，难道还不能说明基斯应该再次当选吗？不一定，这中间存在一个问题：大多数人对蒙特尔的支持度远高于基斯，两者的票数比为2854∶371。选票结果构成了一个奇怪的循环：基斯胜了赖特，赖特胜了蒙特尔，而蒙特尔又胜了基斯。如果两两对决，每名候选人都会取得一胜一负的结果。那么，他们当中似乎谁当选都不合适，难道不是吗？

这种令人烦恼的循环叫作“孔多塞悖论”（Condorcet paradox），是法国启蒙运动时期的哲学家孔多塞（Condorcet）于18世纪末发现的。孔多塞生活于法国大革命即将爆发的时期，是开明思想家中的翘楚，曾担任立法议会的主席。孔多塞看上去并不像一位政治家，他性格腼腆，说话声音很小，但语速很快。大革命时期的议会非常嘈杂，所以孔多塞提出议案时，人们常常听不见。但是，如果有人在学术标准上与他发生冲突，他经常会大发雷霆。由于他既羞怯内向又时而暴躁的性格特点，他的导师杜尔哥（Jacques Turgot）给他取了个绰号——“疯狂的绵羊”。

不过，孔多塞在政治上确实有过人之处：他充满激情，在处理事务时总是坚守推理（尤其是数学推理）这个原则。他对推理的信任与启蒙运动时期的其他思想家别无二致，但与此同时，他独树一帜地认为社会与道德世界可以通过方程式与公式来分析。孔多塞是第一位现代社会学家（他认为自己研究的是“社会数学”），他出身贵族家庭，但是他很快就认识到思维的普遍规律应该凌驾于国王们心血来潮的想法之上。卢梭认为人们的“总体意愿”应该可以左右政府的行为，孔多塞同意这个观点。但与卢梭不同的是，他并不满足于把这个认识看成是一种不言而喻的原则，而坚持认为在接受大多数观点之前必须通过数学方法来验证它们，概率论就可以完成这项任务。

1785年，孔多塞在“概率论在多数人决策中的应用”一文中提出了他的理论，简单地说就是：一个7人陪审团要做出被告是否有罪的判决，其中有4人认为被告有罪，有3人认为他无罪。假设每个人正确的概率为51%，在这种情况下，我们可能会预测4∶3的多数人做出的判决是正确的，而不大可能预测他们是错误的。

这种情况与棒球冠军赛有点儿相似。如果是费城人队和老虎队对决，大多数人认为费城人队获胜的可能性更大。假定他们每场比赛获胜的概率为51%，那么费城人队以四胜三负的成绩拿下棒球冠军赛的概率，就会大于以三胜四负的成绩输掉比赛的概率。如果棒球冠军赛采用的不是七场四胜制，而是一共有15场比赛，那么费城人队的获胜优势将会更大。

孔多塞所谓的“陪审团定理”（jury theorem）表明，如果陪审团成员足够多，只要这些成员有公正心，哪怕只是一点儿，陪审团的决定就很有可能是正确的。孔多塞指出，我们必须把这个结论看成是一个正确有力的证据。从数学角度看，即使某个大多数人认同的观点与我们已有的观点相矛盾，只要认同这个观点的人数足够多，我们就有充分的理由相信它。孔多塞说：“是否采取某种行动，不能仅凭我自己认为合理就贸然行事，而要将大多数人的观点加以提炼，得出的结论必须有理有据、切实可行，才可以采取行动。”陪审团的作用就像电视节目《百万富翁》（Who Wants to Be a Millionaire？）的观众。孔多塞认为，在我们向一个集体提出质疑的时候，即使这个集体是一群不知名、资质较浅的同行，我们也应该重视他们的意见。

因为孔多塞这种近乎死板的行事方式，那些有科学天赋的美国政治家们（例如，与孔多塞一样热衷于度量标准化的托马斯·杰斐逊）对他青眼有加。但是，约翰·亚当斯（John Adams）非常不喜欢孔多塞，在阅读孔多塞的著作时，他在批注中评价孔多塞是“江湖骗子”“伪数学专家”。在亚当斯看来，孔多塞就是一个绝望的理论家，因为屡屡在实践中遭遇失败而脾气暴躁，而且他还对有同样倾向的杰斐逊产生了非常糟糕的影响。尽管孔多塞在数学知识的启迪下起草了吉伦特宪法，并制定了非常复杂的选举制度，但无论是法国还是其他国家都没有采纳这部宪法。孔多塞坚持认为女性也应当享有那些人们广泛议论的人权，在当时这个观点几乎是孔多塞的一家之言，但这也是他做出的积极贡献之一。

1770年，27岁的孔多塞与他的数学老师、《百科全书》（Encylopédie）的编者之一让·勒朗·达朗贝尔，来到了瑞士边界的费尼，对住在这里的伏尔泰进行了一次历时较长的拜访。对数学情有独钟的伏尔泰当时已年过七旬，老态龙钟，他很快就对孔多塞欣赏有加，觉得这个年轻人很有前途。伏尔泰希望能把启蒙运动的理性主义原则传承给新一代的法国思想家，孔多塞正是实现这个希望的最佳人选。孔多塞曾经代表法国皇家科学院执笔撰写拉孔达明的悼词，拉孔达明是伏尔泰的老朋友，通过彩票帮助伏尔泰赚了一大笔钱。孔多塞之所以赢得了伏尔泰的好感，这可能也是原因之一。伏尔泰与孔多塞很快建立起联系，二人书信往来频繁。通过与孔多塞的交流，伏尔泰得以及时掌握巴黎的政治动态。

但是后来，两人之间的关系却出现了裂痕。事情的起因源自孔多塞为布莱士·帕斯卡写的悼词。在这份悼词中，孔多塞公正地称赞帕斯卡是一位伟大的科学家。如果不是帕斯卡与费马提出的概率论，孔多塞很可能无法在科学上取得如此非凡的成就。与伏尔泰一样，孔多塞也不认可帕斯卡的推理方法，但是他反对的理由不同于伏尔泰。伏尔泰认为，把超物质的问题与骰子游戏混为一谈是不严肃的，让人无法接受。而孔多塞与后来的费舍尔一样，之所以反对帕斯卡推理法，则更多是出于数学方面的考虑，他无法接受用概率论来讨论上帝是否存在这类根本不受随机性约束的问题。但是，帕斯卡还认为可以通过数学这个工具来研究人类的思维与行为，对于孔多塞这位刚刚入门的“社会数学家”而言，这个观点无疑具有极强的吸引力。

与孔多塞不同，伏尔泰认为帕斯卡从本质上讲是在宗教狂热的驱动下完成他的那些研究的，而伏尔泰对宗教狂热嗤之以鼻。此外，帕斯卡认为数学可以被用来讨论那些无法直接观察的世界，伏尔泰觉得这个观点不仅是错误的，而且会导致危险的后果，因此拒绝接受。伏尔泰在谈到孔多塞的这份悼词时指出：“……文笔优美，因此令人担心……如果他（帕斯卡）真的是一位伟大的科学家，我们所有人就都是白痴，因为我们无法理解他的那种思维方式。孔多塞把书稿寄给我看，读完之后，我觉得如果孔多塞不加修改就出版，必然会对我们造成极大的伤害。”从伏尔泰的话中我们不仅可以看到正常的学术分歧，还能看出一位导师在门徒向自己的哲学对手献殷勤时表现出来的那种嫉妒之情。伏尔泰经常问孔多塞：“到底谁是正确的，是帕斯卡还是我？”孔多塞想方设法避免回答这个问题（尽管他屈从于伏尔泰的意愿，在该书的新版本中对帕斯卡的赞扬有所收敛），而是区别对待，既对帕斯卡在拓展数学原理的应用范围方面所做的努力表示尊敬，又尊重伏尔泰对理性、现世主义与进步的忠诚。

在选举问题上，孔多塞采取的是彻头彻尾的数学家的态度。普通人看到2000年佛罗里达选举的结果时会说：“啊呀，真的很奇怪。偏向于左派的候选人最后竟然帮助共和党人赢得了大选。”他们看到2009年伯灵顿市的选举结果也可能会说：“啊呀，真的很奇怪。大多数人都喜欢的中立派竟然在第一轮就惨遭淘汰。”对于数学家而言，这种“啊呀，真的很奇怪”的感觉源于在心理上无法接受这样的选举结果。你能准确地说出觉得奇怪的理由吗？你能明确地说出什么样的选举制度不奇怪吗？

孔多塞认为自己可以回答这些问题。他写了一个公理，也就是说，他认为下面这句话是浅显易懂的，根本不需要证明。

如果多数人在甲、乙两位候选人当中偏向于甲，候选人乙就不可能是众望所归的人选。(www.xing528.com)

孔多塞在他的作品中提到波达的研究时充满了崇敬之情，但就像古典经济学家认为多头绒泡菌是非理性的一样，他也认为波达计算法有缺陷。按照波达计算法，第三方的加入会导致胜利的天平从候选人甲向候选人乙倾斜，与多数人意见一样，都违背了孔多塞公理。根据孔多塞公理，如果甲在两人对决中击败乙，那么在包括甲在内的三人角逐中，乙不可能成为赢家。

欧几里得根据他对点、线与圆的特性总结出5条公理：

·任意两点可以通过一条直线连接；

·任意线段能延长为任意长度的直线；

·给定任意线段L，都可以以其为半径画一个圆；

·所有直角都相同；

·如果P是一个点，L是不经过P的一条直线，那么有且只有一条直线通过点P且与L平行。

想象一下，如果有人通过一个复杂的几何证明过程，发现欧几里得公理会不可避免地导致自相矛盾的情况，那会造成什么样的结果呢？真的不可能出现这样的情况吗？我要提醒大家的是，几何学中藏匿着很多神秘现象。1924年，斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）与阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）发现，把一个球体分成6块之后，通过移动可以重新拼成与之前的球体大小相同的两个球体。这怎么可能呢？这是因为根据对三维物体及其体积、运动等的经验，我们可能相信某些自然形成的公理，但是这些公理不全是正确的，尽管我们直觉上认为它们似乎没有问题。当然，巴拿赫-塔斯基的这些小块具有无限复杂的形状，在天然的物理世界中是无法实现的。因此，购买一个铂球，分割成巴拿赫-塔斯基小块，然后拼成两个新的铂球，再重复上述步骤，最终得到一大堆贵重金属铂，这样的尝试是不可能成功的。

如果欧几里得公理中存在自相矛盾的情况，几何学家就会有五雷轰顶的感觉。这是非常正常的反应，因为真的出现这种情况的话，就意味着构成他们研究基础的那些公理中有一个甚至多个是不正确的。我们甚至可以更加不客气地认为，如果欧几里得公理出现自相矛盾的情况，那么欧几里得所定义的点、线与圆根本不存在。

当孔多塞公理遭遇孔多塞悖论之后，也会面临这样的糟糕局面。在前文的饼形图中，孔多塞公理指出蒙特尔不可能当选，因为他在与赖特的对决中败北了。同样，赖特输给了基斯，而基斯又被蒙特尔击败，所以他们也不可能当选。因此，所谓的民意根本不存在。

孔多塞悖论对他在逻辑基础上建立起来的孔多塞公理提出了一个巨大的挑战。如果存在客观、正确的候选人排序方法，那么基斯比赖特强、赖特比蒙特尔强而蒙特尔又比基斯强的情况，就几乎不可能出现。孔多塞被迫承认，在这些例子面前，他的公理必须加以修改：多数人的意见有时也可能是错误的。但是，如何透过矛盾的迷雾了解人们的真实意图，仍然是一个悬而未决的问题，因为孔多塞从来没有想到所谓的民意根本就不存在。

【注释】

[1]新闻界还提供了更多的数据。2013年5月，美国有线电视新闻网民意研究中心的一次民意调查发现，43%的人支持《平价医疗法案》，35%的人认为该法案过于慷慨，16%的人则认为它不够慷慨。