数学与艺术：拓扑天使与代数魔鬼

拓扑学的前世今生

正如我们在第四章介绍的,今天俄罗斯广袤的土地上,有一块远离本土的飞地,叫加里宁格勒,它位于波罗的海沿岸,傍依着波兰和立陶宛。历史上,它曾是欧洲第一个信奉新教的普鲁士公国的首都,当时的名字叫哥尼斯堡。后来又与柏林成为布兰登堡-普鲁士公国的联合首都。有一条水量充沛的普莱格尔河流经此城,并注入波罗的海。河中央有一座小岛,18世纪初,这座岛屿与河岸之间共建有七座桥。1735年的一天,有位市民突发奇想,他提出这样一个问题。能否从城内某处出发,走遍这七座桥,每座桥只走一次,回到出发地?

哥尼斯堡七桥

此问题一经提出,经过当地报纸的宣扬,立刻成为大众感兴趣的话题,甚至变成了一项消遣性的娱乐活动。许多人亲力亲为,加入步行探索者的行列。大哲学家康德(ImmanualKant,1724—1804)那年11岁,还是个小学生。他出生在哥尼斯堡,一生从未离开过故乡,应该听说了七桥问题,但未必为此着迷,因为他是欧几里得几何的信奉者。后来康德上了哥尼斯堡大学哲学系,数学是该系的一个专业。此后很长一段时间里,人们没有找到答案,毕竟要把七座桥依次走完的话共有5040(7!)种选择。于是,有几位大学生写信向远在俄罗斯首都圣彼得堡的大数学家欧拉求教。

说到欧拉,这位18世纪最伟大的数学家(法国人认为此荣誉属拉格朗日)本是瑞士人,20岁应聘北上,到新成立的圣彼得堡科学院,把原先一片空白的俄罗斯科学研究提升到一流的水准。有人说,欧拉访问哥尼斯堡时方才得知七桥问题,理由是,虽说那时哥尼斯堡大学(1544)已成立200多年,且哥尼斯堡与圣彼得堡都在波罗的海沿岸,但毕竟这段距离或航程不算近,且两地分属两个并不友好的国度。又有人说,问题提出五年以后,欧拉应普鲁士国王邀请受聘柏林科学院(长达25年),他才知晓此事,因为普鲁士王国定都柏林,哥尼斯堡是它下属的一个省会。

可事实是,第二年即1736年,29岁的欧拉便向圣彼得堡科学院提交了一篇题为《哥尼斯堡的七座桥》的研究论文。他在解答这个问题的同时,开创了两个新的数学分支——图论和拓扑学,由此掀开数学史上崭新的一页。在这篇论文中,欧拉给出了有关“一笔画”的充要条件。他把每块陆地当作一个点,每座桥当作一条线段,两端各有一个点。这样一来,与每个点相连的线段数目有奇偶之分,可分别称之为奇点和偶点。经过推导和计算,欧拉得出结论,连通图可以一笔画成的充要条件是:奇点个数是0或2。确切地说,当无奇点时,从任意一点出发,均可以一笔画回到原点;而当奇点个数为2时,从任意一个奇点出发,均可以一笔画到另一个奇点结束。

具体到哥尼斯堡七桥问题这个例子,共有4个奇点(线段数分别是3、3、3、5),故而无解。遗憾的是,欧拉本人并没有给出上述结论的充分性证明。直到一个多世纪以后,德国人希尔泽(CarlHierholzer,1840—1871)才给出证明。希尔泽是海德堡大学数学博士,他在卡尔斯鲁厄大学担任无薪讲师时,证明了这一充分条件。不幸的是希尔泽英年早逝,他去世前只给几位朋友看过这一证明,死后两年才得以发表。值得一提的是,若是在哥尼斯堡七桥基础上,添加一座、两座或三座桥,均可以使奇点的个数为0或2,即完成“一笔画”。

七桥问题的数学模型

在数学史上,欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解答被认为是图论这一分支的开端和第一个定理(通常把一笔画成的路线称作欧拉回路,而把有欧拉回路的图叫作欧拉图),也是网络理论的第一个真实的证明,后者如今被普遍认为是组合数学的一个重要分支。与此同时,欧拉已认识到重要的是桥的数量及其端点列表,而非它们所在的确切位置或形状,这预示着拓扑结构的发现和肇始。城市和桥梁的实际布局与图形示意图之间的差异就是一个很好的例子,它说明拓扑结构与物体本身的刚性形状并无关联。

因此,正如欧拉所认识到的,“位置几何”(拓扑学一词原意)不是关于“测量和计算”,而是关于更一般的东西。依照亚里士多德的传统观念,数学是“数量的科学”,这一观点现在开始受到人们的质疑,尽管它比较符合算术和欧几里得几何,但不符合拓扑学和现代数学所研究的更为抽象的结构特征。举例来说,一团黏土可以看作是物质点的集合,它可以变形(如变成一个球或细长条)而不变其拓扑性质。另一方面,人们也注意到了,欧拉的结论并不只是关于抽象的模型,而是与城市和桥梁的实际布局有关。这一点说明了,数学证明的确定性可以直接应用于现实,这对数学家无疑是一种鼓舞。

可以说哥尼斯堡七桥问题既属于图论,又属于拓扑学。有着同样特点的还有地图四色问题,它的历史几乎一样的悠久。四色问题又称四色猜想、四色定理,最先是由一位叫古德里(FrancisGuthrie)的南非青年提出来的。1852年,刚从伦敦大学毕业的古德里来到伦敦一家科研单位搞地图着色工作,他发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能否从数学上加以严格证明呢?他和他正在读大学的弟弟弗雷德里克决心一试,结果没有成功,弗雷德里克随后就此问题请教了老师、印度出生的英国数学家德·摩尔根(AugustusDeMorgan,1806—1871)。德·摩尔根也没有能找到解决这个问题的方法,便写信给爱尔兰数学家哈密尔顿爵士(WilliamHamilton,1805—1865),但直到哈密尔顿逝世,也没有给出解答。

四色问题图例

1872年,曾极力促使剑桥招收女生的英国数学家凯利(ArthurCayley,1821—1895)正式向伦敦数学会提出了地图四色问题,这使得四色猜想成了世界性的数学问题,与古希腊的三等分法和化圆为方问题一样广为人知。许多一流的数学家都参与研究这个问题,其中不乏有人宣称证明了四色定理。直到1976年,才由美国伊利诺伊大学的数学家小组,在阿佩尔和哈肯领导下,结合计算机运算和理论探索,最终证明了四色定理,轰动世界。但人们依然期待一个完整的纯数学的证明。奇怪的是,对于看起来更为复杂的环面(轮胎型曲面)的情形,早已证明七种颜色是最少的数目;而平面地图的五色定理,也早已有之。

四色定理的拓扑证明关键在于,将它归结为二维平面内两条直线相交的问题,具体方法如下:一、将地图上不同的区域用不同的点来表示;二、点与点之间的连线用来表示地图上两个相邻区域之间的逻辑关系。因此,线与线之间不可交叉,否则就超越了二维平面,这种平面可称为逻辑平面,它只反映区域之间的关系,并不反映实际位置。通过以上的变换处理,可以将对无穷无尽的实际位置的讨论,变为有条理可归纳的逻辑关系的讨论,从而提供了简单证明的可行性。如果证明可用一句话来说,那就是:“二维平面不存在交叉直线,只存在共点直线。”

按照拓扑学的划分,四色问题和七桥问题均属于代数拓扑的范畴,同样属于代数拓扑的还有笛卡尔-欧拉示性数。这个概念是由笛卡尔于1635年最早提出来的,后来又在1752年由欧拉再度发现。他们两人都注意到了,任何没有洞的多面体的顶点数减去其棱数再加上其面数,结果都等于2,即:

V-E+F=2

此处V表示顶点(Vertex)数,E表示棱(Edge)数,F表示面(Face)数。

例如,金字塔形的四面体,满足4-6+4=2;又如长方体,满足8-12+6=2。而对于有一个洞的多面体,则此数为0。第一个给出证明的是法国数学家柯西,他在1809年20岁时给出漂亮的证明。这些数在拓扑变形时是不会改变的代数量,它们只与物体的拓扑性质有关。

除了代数拓扑,还有点集拓扑(又称一般拓扑)和微分拓扑,而拓扑学最初却归于几何学类,可见拓扑学渗透到数学的各个领域。点集拓扑主要研究拓扑空间的自身结构及其间的连续映射。所谓拓扑空间是由称为“基”的一族集合构成的,常见的有n维欧氏空间、实希尔伯特空间、笛卡尔积空间。假如两个拓扑空间A和B有双向连续的一一对应,就说A和B拓扑等价或同胚。赫赫有名的庞加莱猜想(1904)既属于代数拓扑又属于微分拓扑,它说的是:

任何一个单连通的闭的三维流形一定同胚于一个三维球面。

2002年和2003年,犹太裔俄罗斯数学家佩雷尔曼(GrigoryPerelman,1966—)在互联网上贴出了三篇论文,宣告他已证明了庞加莱猜想。在2006年马德里国际数学家大会上,国际数学联盟授予佩雷尔曼菲尔兹奖,被他拒绝。同样,他也拒绝了纽约克莱数学研究所100万美元的“千禧年数学大奖”。值得一提的是,1966年和1986年,美国数学家斯梅尔和弗里德曼因为证明了高维和四维的广义庞加莱猜想先后获得一枚菲尔兹奖章。

下面这个较为形象的例子属于点集拓扑。众所周知,在北极点每一个方向都是朝南的,称为奇点。这是经纬线的一个特性,可以证明,不存在没有奇点的坐标系。还可以证明,地球上总有一个地方没有风,就如同每个人的头顶总有一个地方不长头发。这几个完全不同的事实验证了拓扑学的一条规律——不动点定理。它说的是,球面到它自身的任何同胚至少有一个不动点。不动点定理是由荷兰数学家布劳威尔(L.E.J.Brouwer,1881—1966)于1911年发现并证明的。另外,把一条长方形纸带的一个短边扭转180度后再与对边连接,就能得到莫比乌斯带的一个模型。它是一个单侧曲面,代表一种典型的拓扑性质。据说凤凰卫视北京总部大楼的形状便是一条莫比乌斯带。

莫比乌斯带

如上所言,拓扑学的不动点理论可以解释台风中心(风眼)为何风轻云淡,那是气压最低的地方。说到北太平洋西岸的台风,它与北大西洋西岸的飓风十分相似,它们与龙卷风的区别在于,一个是借助长距离的助跑,一个是借助小范围的旋转,最后均形成巨大的能量和摧毁力。这种差别,好比田径场上的跳跃项目和投掷项目,它们聚力的方式各不相同。一般来说,拓扑学是研究具象元素或抽象元素集合的某些特殊性质,特别是在这些集合经受变形(但不损坏)时仍然保持不变的那些性质的数学分支学科。

诺特与抽象代数

英国哲学家罗素曾经说过:“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时,数学就诞生了。”这个说法颇有意味,不过也可能把数学的诞生提前了数千年。在作者看来,数学的诞生或许要晚一些,即人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋,2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢,等等”中抽象出“2+3=5”之时。事实上,这两种说法有相似之处,即从若干具象的事物中抽象出某种共同的特质来。抽象代数的出现,也具备这一特点,它是现代数学诞生的标志之一。

抽象代数是初等代数的一种比线性代数或高等代数更为抽象的发展,它把初等代数的基本运算推广到不必是数的各种元素的集合,形成各种代数系统。每一个代数系统是某一类数学对象的集合,连同结合它们的某些运算以及这些运算所满足的法则。随着这些运算及其所满足的法则的不同,形成了各种各样的代数范畴,最常见的有群(group)、环(ring)、域(field)、格(lattice)、理想(ideal),以及伽罗瓦理论,等等。数学家利用公理化方法,探讨实数和复数以外的不同元素,例如向量、矩阵、变换等,这些元素拥有各自的演算规律。他们将这些演算经由抽象手法提取出来,并由此达到更高的层次,从而催生了抽象代数。

挪威发行的阿贝尔纪念邮票

群——这个集合的元素只有一种运算,并且满足一定法则。元素可以是数,也可以是球面的旋转,等等。群能最好地描述几何图形的对称性。法国数学家对群有最主要的贡献,拉格朗日最早考虑了群的概念,柯西最先研究了置换群。挪威数学家阿贝尔(NielsAbel,1802—1829)证明了五次或五次以上多项式没有一般根式解后,法国数学家伽罗瓦(EvaristeGalois,1811—1832)用置换群的方法证明高次方程有解的充要条件是该方程对应的群是可解群,即伽罗瓦群。

群G的定义如下,它是一个非空集合,拥有一种二元运算,通常称为乘法,G对乘法是封闭的,即两个元素的乘积仍在群里。此外,它还满足三条性质:

(1)结合律,设x、y、z是G中元素,

(xy)z=x(yz);

(2)存在单位元素1,使对G中任何元素x,均有x1=1x=x;(www.xing528.com)

(3)对于G中任何元素x,存在逆元素y,满足xy=yx=1。

如果G的元素满足交换律,即xy=yx,则G被称为交换群,或阿贝尔群(1) 。

环——这个集合的元素有两种运算:加法和乘法,对于加法它是一个交换群,对于乘法它满足结合律,同时乘法对于加法满足分配律,即:

x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz

如果环R的乘法也是可交换的,那么R称为交换环。环R若有元素a≠0,b≠0,ab=0,则称a和b是R的零因子。一个有逆元素但无零因子的交换环被称为整环。例如,全体整数的集合,所有系数在某个整环里的一元多项式全体,均构成整环。

历史上,环论发展的一个主要动力是费尔马大定理。19世纪以来,德国数学家在这方面作出重要贡献。他们首先发现,这个问题关系到由代数整数(首项系数为1的整系数多项式的根)形成的环因子分解唯一性问题。狄利克莱和库默尔(ErnstKummer,1810—1893)各自发现这样的环里类似于整数分解唯一性定理并不总是存在。为此库默尔和戴德金(JuliusDedekind,1831—1916)引入了“理想”的概念,它被证明对环论和包括费尔马大定理在内的代数数论有着重要的意义。到了19世纪末,环论与代数几何发生了密切的联系,出现了所谓的坐标环。1925年,德国女数学家诺特(EmmyNoether,1882—1935)建立了诺特环,一步步把我们引入抽象。

域——这个集合是有除法的交换环,即拥有四则运算(除数不为0)。例如,全体有理数(实数、复数)组成的有理数域(实数域、复数域)。有限个元素组成的域称为有限域。例如,对任意正整数n>1,模n的剩余类0,1,……,n-1组成的集合构成了有限域。伽罗瓦理论是域论的主要组成部分,有限域的理论还被广泛地应用到数字信息传递中的检错码和纠错码设计问题。

虽说伽罗瓦20周岁便死于情人决斗,此前还两次作为政治犯被捕入狱,但他无疑是19世纪最伟大的数学家之一,也是抽象代数最重要的创始人之一。群的理论帮助解决了一般的5次和5次以上方程不能用根式求解,以及用直尺和圆规三等分角或倍立方体不可能等数学难题。更重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把人们从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式。群论对于物理学(尤其是量子力学)、化学等学科的发展,甚或晶体材料提炼方面均能发挥重要作用。可以这么说,伽罗瓦理论如今是抽象代数乃至整个数学领域最重要的工具之一。

伽罗瓦肖像

1843年,哈密尔顿给出了非交换环的第一个例子——四元数,它来自初等代数,这预示着代数学的革命性时代的到来。翌年,德国数学家格拉斯曼(HermannGrassmann,1809—1877)推演出更具一般性的几类代数,包括超复数,由此引申出的张量分析帮助爱因斯坦推导出广义相对论,后者命名了张量分析。值得一提的是,格拉斯曼还是语言学家,曾被图宾根大学授予荣誉哲学博士学位。1857年,凯莱设计出另一种不可交换代数——矩阵代数。1870年,克罗内克给出了有限Abel群的抽象定义,戴德金开启了体的研究;后来,他们两人又创立了环论。这些人的工作开启了抽象代数的大门。

最后,我们来说说数学家中的女杰诺特,她被公认为是抽象代数的主要奠基人,享有“代数女皇”的美誉。诺特不幸早逝后,爱因斯坦曾为《纽约时报》撰文,称赞她是有史以来最伟大的女数学家。诺特出生于德国埃尔朗根,父亲是位数学家,母亲是富有的犹太商人的女儿。诺特是长女,很有语言天赋,但由于父亲身体不好,同事们常来家中看望并探讨数学问题,这激发了她的数学兴趣。1900年诺特进入父亲任教的埃尔朗根大学,成为数学系唯一的女生。起初她只能做旁听生,三年后才得以正式注册,七年后获得博士学位。期间有一年,诺特赴哥廷根大学学习,受到了希尔伯特和克莱因等大师的熏陶。

诺特像(1910)

诺特对代数拓扑、代数数论和代数几何的发展均有重要贡献。起初她主要研究代数不变量和微分不变量,在哥廷根大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变量问题,诺特定理把对称性、不变性和物理学中的守恒定律联系在一起。后来她主要研究交换代数和交换算术。1921年出版的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑,从中她建立了诺特交换环理论,证明了准素分解定理。五年以后,她又给出素理想因子唯一分解的充要条件,从而奠定了现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。一般认为,抽象代数形成的时间就是1926年。从那以后,代数学的研究对象从方程根的计算和分布,变成了数字、文字和更一般元素的代数运算规律和结构,从而完成了从古典代数到抽象代数的本质转变。

1932年,诺特应邀在苏黎世国际数学家大会上作一小时报告。翌年,因为纳粹上台,她被迫移民美国,在费城郊外的布林莫尔女子学院任教。那里离普林斯顿比较近,她因此常受邀去高等研究院做报告。1935年,因为卵巢囊肿手术的意外失误,诺特突然告别人世。诺特终生未婚,一方面,她把大量精力投入到创造性的数学研究;另一方面,她的一生都在与性别歧视做斗争,起初是为取得学习资格,后来是为拥有一个教职。博士毕业后她在母校工作了七年,没有获取任何报酬;到哥廷根后,也只能以希尔伯特的名义开课,四年后方才成为无薪讲师。诺特桃李满天下,荷兰弟子范·德·瓦尔登(VanderWaerden,1903—1996)撰写的《代数学》广为流传,也很好地总结了诺特学派的成果;诺特唯一的中国弟子曾炯之(1897—1940)是我国第一位抽象代数专家。

韦伊与布尔巴基

诺特的影响广泛,甚至包括苏联学派、日本学派和布尔巴基学派。自高木贞治(TeijiTakagi,1875—1960)以后,许多日本数学名家都曾在德国尤其是哥廷根求学,以至于诺特初次见到曾炯之时以为他是日本人。1928年,诺特作为客座教授访问了苏联,并在莫斯科大学讲授抽象代数,结交和影响了大批苏联同行。由于德国对妇女的歧视,诺特回国后十分怀念苏联,遂写信给莫斯科数学会主席亚历山德罗夫(PavelAleksandrov,1896—1982)表示愿意前往任教,只是由于莫斯科的官僚主义迟迟没有批准。幸好诺特没有去,她的弟弟弗里茨于1935年到西伯利亚的托木斯克数学力学所工作,不久因德苏亲善和犹太身份被关进集中营,从此音讯全无。

布尔巴基(Bourbaki)学派诞生于20世纪30年代中期的法国。那会儿数学家亨利·嘉当(HenryCartan,1904—2008)和安德烈·韦伊(AndreWeil,1906—1998)均任教于斯特拉斯堡大学,两人关系十分密切,加上附近南锡大学(现已并入阿尔萨斯大学)的迪厄多内、德尔萨特等,结成了年轻的东部集团,他们都曾就读于巴黎高师。1934年底,正当他们在巴黎参加一个数学会议时,韦伊在一家烤肉店的地下室里召集了布尔巴基第一次会议。从翌年开始,他们统一用尼古拉斯·布尔巴基的笔名撰写和发表论文。同时从那年开始,每年夏天召开大会,研讨和分派《数学原理》的写作。值得一提的是,1938年的布尔巴基大会在法国南方小镇迪约勒菲召开时,韦伊的妹妹、著名哲学家西蒙娜·薇依(SimoneWeil,1909—1943)也来了,并与数学家们合影。

历史上,尼古拉斯·布尔巴基还真有其人,他是1870年普法战争的法军将领,在力图突破普鲁士军队防线的战役中遭遇惨败,故而采用此笔名带有诙谐的意味。而说到布尔巴基学派产生的深层次原因,可能还在于“一战”时期法德两国政府的不同政策,德国人把科学精英保护起来,让他们继续从事研究,没有让他们上战场;而法国秉承人人平等的思想,把大量优秀的科研人员派上战场,结果相当多的精英阵亡,据说巴黎高师有三分之二的学生死于“一战”。等到嘉当和韦伊他们这一代上大学以后,大学里只剩下一些知识陈旧的老学究,他们守着古老的函数论,已无法理解和讲授诺特的抽象数学,对新兴的莫斯科拓扑学派和波兰泛函分析学派也一无所知,这些让法国年轻人十分焦虑。

《数学原理》共约40卷,他们从结构主义的观点出发,认为数学就是关于结构的科学。在各种数学结构之间有内在的联系,其中代数结构、拓扑结构和序结构是最基本的三种母结构。这一思想来源于公理化方法,布尔巴基反对将数学分为分析、几何、代数、数论的经典划分,而要以同构概念对数学内部进行重新分类。一门数学分支可能由几种结构混合而成,比如实数集就由算术运算的代数结构、顺序结构和极限概念的拓扑结构组成。李群是特殊的拓扑群,也是由拓扑结构和群结构相互结合而成。数学分类依据结构来进行,比如线性代数和初等几何研究的是同一种结构,也即它们“同构”,可以一起处理。

布尔巴基«数学原理»第一卷（1970）

《数学原理》第一部分包括:卷Ⅰ《集合论》,卷Ⅱ《代数学》,卷Ⅲ《一般拓扑学》,卷Ⅳ《实变函数》,卷Ⅴ《拓扑向量空间》,卷Ⅵ《积分论》。“二战”开始以前,布尔巴基只完成了《数学原理》第Ⅰ卷《集合论》的一小部分。这部不到50页的小册子在1939年出版,之后于1940年出版了《一般拓扑学》前二章,1942年出版后二章及《代数学》第一章。这四本书已反映出布尔巴基的风格特征,同时它们也是《数学原理》的基础。不久,“布尔巴基的”便成为专有名词风靡西方数学界,布尔巴基学派的思想及写作风格成为年轻人仿效的对象。因为布尔巴基的权威,很快统一了新的名词和符号,这对数学发展十分重要。

与此同时,许多布尔巴基成员的工作也开始为大家所知,尤其是在代数数论、代数几何、李代数和泛函分析方面。到60年代中期,布尔巴基的声望达到顶峰,甚至他们讨论班的题目都会引人瞩目。可是,客观世界千变万化,尤其那些与实际问题相联系的学科,很难利用结构观念分析。而自从70年代以来,这些学科发展越来越快,它们往往与应用数学、计算数学和计算机有关。另一方面,“新数学”早已进入法国和美国的中小学教材,这造成了巨大的社会问题。小学生要学集合论,中学要教环和理想,不仅学生吃不消,老师也叫苦连天,有些人因此迁怒于布尔巴基,形成了一股反对浪潮,从而导致了黄金时代的结束。不过,如今法国数学已重返鼎盛时期,布尔巴基完成了历史使命,布尔巴基的遗产将永存!

现在,我们要谈一谈韦伊。他出生于阿尔萨斯的一个犹太家庭,父亲是医生,母亲来自有高度文化修养的家庭。家中只有比他小三岁的妹妹西蒙娜,兄妹的成长比较自由,他们后来的经历也与奥地利哲学家维特根斯坦一样随性。韦伊对于“数学处在无穷无尽的论文潮中淹死的危险”表示忧虑,他的学习和教学生涯颇具国际性:求学地点有巴黎高师、罗马大学和哥廷根大学,工作地点有印度的穆斯林大学、斯特拉斯堡大学、巴西圣保罗大学、美国芝加哥大学和普林斯顿高研院,同时他一直是布尔巴基的领袖。韦伊和格拉斯曼都精通梵文,韦伊还曾面见甘地。“二战”期间,他在芬兰差点被当成间谍处决,又因拒绝服兵役被判处五年徒刑,但在监狱里仍潜心研究数学。

穿军装的韦伊

韦伊在数论、代数几何、李群、拓扑学、微分几何学以及复分析等领域都做出了杰出成就。他是抽象代数几何的奠基人,韦伊猜想是黎曼猜想的代数几何类比,在1974年被比利时数学家德里涅(VicomteDeligne,1944— )证明,后者利用了数学奇才格罗滕迪克(AlexGrothendieck,1928—2014)对代数几何的创新性成果,并因此获得了1978年的菲尔兹奖(2013年又获阿贝尔奖)。那一年,韦伊也应邀在国际数学家大会上作数学史的全会报告,引起数学界普遍的兴趣和关注。他的论著《数论:历史的论述》对17世纪和18世纪数论予以全面的总结。1979年,韦伊(比嘉当早一年)获得象征终身成就和荣誉的沃尔夫奖(如今沃尔夫奖的地位已被阿贝尔奖取代)。

最后,我们想谈谈分形几何学(FractalGeometry),它是由比韦伊晚一辈、波兰出生拥有法国和美国双重国籍的数学家曼德勃罗(B.B.Mandelbrot,1925—2010)创立的。相比一般几何学研究的对象是整数维数,分形几何学的维数可以是分数或实数,它是有关斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学。1967年,曼德勃罗发表了一篇题为《英国的海岸线到底有多长?》的文章,他在查阅了西欧几个国家的百科全书以后,发现这些国家对于它们共同边界的估计相差20%。事实上,无论海岸线还是国境线,长度依赖于用来测量的尺度大小。从人造卫星上估计海岸线长度的观察者,比海滩上的踏勘者将得出较小的数值,后者又比爬过每颗卵石的蜗牛得出较小的结果。

更进一步,曼德勃罗指出,海湾会有越来越小的子海湾,因此海岸线的长度是无限的,他称其为自相似性。这是一种跨越不同尺度的对称性,意味着递归,图形中套着图形。这个概念在西方文化中有着古色古香的渊源,早在17世纪,莱布尼茨就设想过一滴水中包含着整个多彩的宇宙;稍后,英国诗人兼画家布莱克(WilliamBlake,1757—1827)写道:“一颗砂里看出一个世界,一朵野花里有一个天堂。”1975年,曼德勃罗在《大自然的分形几何学》一书中这样描绘:“云不只是球体,山不只是圆锥,海岸线不是圆形,树皮不是那么光滑,闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢?它们都是简单而又复杂的分形……”

曼德勃罗考虑了二次函数,这里x是复变量,c是复参数。从某个初始值开始令,便产生点集:

1980年,他发现对于某些参数c,迭代会在某几点之间循环往复;而对于另外一些参数c,迭代结果毫无规则。前一种参数值叫吸引子,后一种现象就叫混沌,吸引子的集合如今被命名为曼德勃罗集。在实际应用方面,分形几何学和混沌理论在描述诸如海岸线形状、大气运动、海洋湍流、野生生物群,乃至股票、基金的涨落等不规则现象时,均能起到重要作用。

曼德勃罗集

因为复数迭代需要大量计算,所以分形几何学和混沌理论的研究必须借助高速计算机,由此产生了许多精美奇妙的分形图案,不仅被用来做书籍插图,甚至被出版商拿去制作挂历。就美学价值而言,分形几何学把理性的科学也调谐到那种特别的现代感,即追求野性、未开化、未驯养的天然情趣,这与20世纪70年代前后与分形几何同时兴起的后现代主义艺术所致力的目标不谋而合。在曼德勃罗看来,令人满足的艺术没有特定的尺度,或者说它包含了一切尺度的要素。作为方块摩天大楼的对立面,“巴黎的艺术宫殿,它的群雕和怪兽,突角和侧柱,布满旋涡花纹的拱壁和配有檐沟齿饰的飞檐,观察者从任何距离望去都能看到某种赏心悦目的细节。当你走近时,它的构造出现变化,展现出新的结构元素”。

曼德勃罗谈曼德勃罗集(2006)