全微分方程简介及计算方法

【主要内容】

形如P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0（其中P（x，y），Q（x，y）是已知函数，它们都具有连续偏导数，且满足的微分方程，称为全微分方程.

由于P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某个二元函数u（x，y）的全微分，所以全微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0的通解为u（x，y）=C.

u（x，y）可有以下两种计算方法：

（1）不定积分方法，即由得

于是由得.由此算出φ（y），并将它代入式（1）即得u（x，y）.

（2）对du=P（x，y）dx+Q（x，y）dy从点（x₀，y₀）到点（x，y）沿如图4.3所示的由线段Ⅰ和Ⅱ组成的折线得

注 如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0不是全微分方程时，有时可将P（x，y）dx+Q（x，y）dy，经过适当转换后分成若干组，使每组都是某个函数的全微分，由此求得所给微分方程的通解.

图 4.3

【典型例题】

例4.3.1 求微分方程（xcosy+cosx）y′-ysinx+siny=0的通解.

精解 所给微分方程可以改写成

（xcosy+cosx）dy+（-ysinx+siny）dx=0.

由于，所以所给微分方程是全微分方程，记

du=（xcosy+cosx）dy+（-ysinx+siny）dx，则

由式（1）得

式（3）两边对x求导得

将它与式（2）比较得φ′（x）=0，所以φ（x）=C₀.将它代入（3）得

u=xsiny+ycosx （这里取C₀=0）.

从而，所给微分方程的通解为xsiny+ycosx=C.

例4.3.2 求微分方程（x²-1）dy+（2xy-cosx）dx=0的满足初始条件y|_x=0=1的特解.(www.xing528.com)

精解 由于，所以所给微分方程是全微分方程.记du=（x²-1）dy+（2xy-cosx）dx，则

（其中，积分路径如图4.3.2所示由线段Ⅰ和Ⅱ组成的有向折线）

即u（x，y）=x²y-y-sinx+1+u（0，1）.故可取u（x，y）=x²y-y-sinx.因此所给微分方程的通解为u（x，y）=C，即x²y-y-sinx=C.将y|_x=0=1代入得C=-1，所以所求微分方程的特解为 x²y-y-sinx=-1.

例4.3.3 求微分方程（5xy-3y³）dx+（3x²-7xy²）dy=0的通解.

图 4.3.2

精解 由于，所以所给微分方程不是全微分方程.但是，这个微分方程可以改写成

[2（xy）+3（x-y²）y]dx+[-4（xy）y+3（x-y²）x]dy=0，

即 2[（xy）dx-2（xy）ydy]+3（x-y²）（ydx+xdy）=0，

即 2（xy）d（x-y²）+3（x-y²）d（xy）=0.

上式两边同乘得

，

故

即

所以所给微分方程的通解为

例4.3.4 求微分方程的通解.

精解 由于，所以所给微分方程不是全微分方程.但是，这个微分方程可以改写成

上式两边同乘e^x得

故，即

所以所给微分方程的通解为