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《筭数书》与《九章筭术》相似的方法却有不同的条名

时间:2023-11-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:《筭数书》中有些方法与《九章筭术》类似,但是没有后者的术名。其题目与《九章筭术》全然不同。《筭数书》没有规范、抽象的衰分术,而且除女织条外,其他条的题目也都与《九章筭术》完全不同。总之,上述6个方面,在数学方法上,《筭数书》或与《九章筭术》基本一致,或等价,都是正确的,然而除了“女织”条之外,其他题目都与《九章筭术》不同。

《筭数书》与《九章筭术》相似的方法却有不同的条名

《筭数书》中有些方法与《九章筭术》类似,但是没有后者的术名。

1.减分术与课分术

减分术与课分术是《九章筭术》的两条术。它们是:

今有九分之八,减其五分之一。问:余几何?

荅曰:四十五分之三十一。

又有四分之三,减其三分之一。问:余几何?

荅曰:十二分之五。

减分术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。

今有八分之五,二十五分之十六。问:孰多?多几何?

荅曰:二十五分之十六多,多二百分之三。

又有九分之八,七分之六。问:孰多?多几何?

荅曰:九分之八多,多六十三分之二。

又有二十一分之八,五十分之十七。问:孰多?多几何?

荅曰:二十一分之八多,多一千五十分之四十三。

课分术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。

《筭数书》没有减分术和课分术,却在出金条使用了这两种方法:

出金 有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六,问:余金几何?曰:余金二朱六十三分朱四十四。其术曰:母相乘也为法,子互乘母,各自为实,以出除焉,余即余也。以九分朱乘三朱,与小五相并。今有金七分朱之三,益之几何而为九分七?曰:益之六十三分朱廿二。术曰:母相乘为法,子互乘母各自为实。以少除多,余即益也。

这里的2道题目,各有1条术文,前者实际上使用了减分术,后者与课分术接近。其题目与《九章筭术》全然不同。

2.衰分术

《九章筭术》提出了衰分术及其若干例题:

衰分术曰:各置列衰;副并为法,以所分乘未并者各自为实。实如法而一。不满法者,以法命之。(www.xing528.com)

后随7道例题及其术。其中女织问与《筭数书》的女织条是同一个题目。《筭数书》的女织条是:

女织 邻里有女恶自喜也。织日自再,五日织五尺。问:始织日及其次各几何?曰:始织一寸六十二分寸卅八,次三寸六十二分寸十四,次六寸六十二分寸廿八,次尺二寸六十二分寸五十六,次二尺五寸六十二分寸五十。术曰:直二、直四、直八、直十六、直三十二,并,以为法。以五尺偏乘之各自为实。实如法得尺。不盈尺者十之,如法一寸。不盈寸者,以法命分。[13]

这是典型的衰分法。《孙子筭经》卷中也有同一个题目。它们的解法都相同,只是《九章筭术》《孙子筭经》都将分数约简成以31为分母的最简分数,而《筭数书》没有约简。此外《筭数书》还有共买材、狐出关、狐皮、传马、漆、米粟并、粟米并等衰分问题,以及并租、妇织等返衰问题。《筭数书》没有规范、抽象的衰分术,而且除女织条外,其他条的题目也都与《九章筭术》完全不同。

3.今有术和异乘同除类问题

(1)今有术 今有术是《九章筭术》解决粟米互换的方法,即今天所谓的“三率法”。在今有术的前面给出了“粟米之法”,即各种粟米的换算比率。在之后给出了含有问题、答案、术文的31个例题,其术文是今有术的应用。《筭数书》的秏、粟求米、粟求米、米求粟等条也是粟米互换问题,实际上用今有术解决,但是未提出抽象的今有术。而程禾、粺毇、粟为米等条给出了各种粟米的比率,但不如粟米之法全面。

(2)异乘同除 明初编纂《永乐大典》,人们将《九章筭术》卷三“衰分章”后半卷及其后数学著作中同类的内容编入“筭”字条的卷16343,称为“异乘同除”。[14]《筭数书》中有十几个题目可以归到这一类,不仅大部分题目的对象与《九章筭术》不同,即使是同一对象的同类题目也不同。比如《筭数书》和《九章筭术》都有“息钱”问题,前者的题目是:

息钱 贷钱百,息月三。今贷六十钱,月未盈十六日归,计息几何?得曰:廿五分钱廿四。术曰:计百钱一月积钱数以为法。直贷钱,以一月百钱息乘之,有以日数乘之为实。实如法得一钱。

《九章筭术》的题目是:

今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问:息几何?

荅曰:六钱四分钱之三。

术曰:以月三十日乘千钱为法;以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。

两者的对象、方法都相同,但题目不同。

4.同工共作

“同工共作”是刘徽对《九章筭术》均输章凫雁类问题的概括,《筭数书》负炭、卢唐、羽矢等都是这类问题,但是没有一个题目与《九章筭术》相同,甚至题设的事物也大都不同。

5.盈不足术

盈不足在《筭数书》中称为“赢不足”。除前面提到的方田条外,《筭数书》还有分钱、米出钱等2条,不仅没有《九章筭术》那样规范的盈不足术,题目的对象亦全然不同。

6.体积

《筭数书》中的斩都、刍、旋粟、囷盖、圜亭、井材等条,分别对应《九章筭术》的刍甍、刍童、圜锥(与旋粟和囷盖对应)、圜亭、圜柱等立体,其体积公式也相同,都是正确的,但是题目不同。

总之,上述6个方面,在数学方法上,《筭数书》或与《九章筭术》基本一致,或等价,都是正确的,然而除了“女织”条之外,其他题目都与《九章筭术》不同。

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