在平面解析几何中，我们把平面曲线看作是平面上按照一定规律运动的点的轨迹.类似地，在空间解析几何中，也可把曲面看作是空间中按照一定规律运动的点的轨迹.因此，正如平面曲线与二元方程一样，空间曲面与三元方程也有类似的关系.
定义1 如果曲面S和三元方程F（x，y，z） =0 满足：
（1）曲面S上任意一点的坐标（x，y，z）都满足方程F（x，y，z） =0；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z） =0；
则称方程F（x，y，z） =0 是曲面S的方程，而称曲面S是方程F（x，y，z） =0 的图形.
关于曲面与方程，通常讨论下面两类问题：
（1）已知方程，作出该方程的图形.
（2）已知曲面，建立该曲面的方程.
已知曲面，建立该曲面的方程，一般有以下几个步骤：
1）建立适当的空间直角坐标系；
2）设曲面上的动点为M（x，y，z）；
3）根据已知条件建立含有x，y，z的等式；
4）把此等式化简，即得所求的曲面方程.
【例5】 求与点A（1，1，0）和B（2，0，1）等距离的点的轨迹方程.
解 设动点坐标为M（x，y，z），则有|MA|=|MB|，由两点间距离公式，得
两边平方后化简得2x-2y+2z-3 =0，此方程即为所求动点M的轨迹方程.
由立体几何可知，所求的轨迹是线段AB的中垂面，它的方程是三元一次方程.
一般地，可以证明，空间平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、 B、 C、 D都是常数，且A、 B、 C、 D不全为0.
下面给出方程Ax+By+Cz+D=0 的一些特殊情形.(www.xing528.com)
若D=0，则方程Ax+By+Cz=0 表示通过原点的平面（图6-6 （a））.
图6-6
若A=0，D≠0，则方程By+Cz+D=0是平行于x轴的平面（图6-6 （b））；若A=D=0，则方程By+Cz=0 是通过x轴的平面（图6-6 （c））.类似地，可讨论B或C为零的情形.
若A=B=0，D≠0，则方程Cz+D=0 是平行于xOy坐标面的平面（图6-6 （d））；若B=C=0，D≠0，则方程Ax+D=0 是平行于zOx坐标面的平面；若C=A=0，D≠0，则方程By+D=0 是平行于xOz坐标面的平面.
【例6】 求过点M1（a，0，0），M2（0，b，0）和M3（0，0，c）的平面方程（其中abc≠0）.
解 设所求平面方程为
根据题意，有
解之得
图6-7
代入平面方程，有
故
上式称为平面的截距式方程，其中a，b，c分别为平面在x轴，y轴，z轴上的截距（图6-7）.
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