常见二次曲面和球面方程-实用微积分

1.球面

定义2 在空间到定点的距离为定长的点的轨迹叫做球面.定点叫做球面的球心，定长叫做球面的半径.

设一个球面的球心为M0（x0，y0，z0），半径为R，下面建立这个球面的方程.

设点M（x，y，z）是球面上任意一点，根据球面定义有|MM0|=R，由两点间的距离公式，得

两边平方得球面方程

特别地，当球心在坐标原点时，球面方程为

2.母线平行于坐标轴的柱面

定义3 动直线L沿定曲线C平行移动所形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线（图6-8）.

图6-8

图6-9

现在来建立母线L平行于z轴，准线C为xOy平面上的定曲线f（x，y） =0的柱面方程（图6-9）.

设P（x，y，z）为柱面上任意一点，过P作平行于z轴的直线交xOy坐标面于点P0（x，y，0），由柱面的定义可知，P0必在准线C上，即P0的坐标满足方程f（x，y） =0，由于f（x，y） =0 中不含z，所以P点的坐标也满足方程f（x，y） =0，而不在柱面上的点作平行于z轴的直线与xOy坐标面的交点必不在曲线C上，也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程f（x，y） =0，所以，不含变量z的方程f（x，y） =0 在空间表示以xOy坐标面上的曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面.

类似地，不含变量x的方程f（y，z） =0 在空间表示以yOz坐标面上的曲线f（y，z）=0 为准线、母线平行于x轴的柱面；不含变量y的方程f（x，z） =0在空间表示以zOx坐标面上的曲线f（x，z） =0 为准线、母线平行于y轴的柱面.

可见，在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.

3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面

定义4 一条平面曲线C绕其平面上的一条定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.其中曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的轴.

图6-10

图6-11(www.xing528.com)

下面建立以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程.

设yOz坐标面上有一条已知曲线C，它的方程为f（y，z） =0，又设M （x，y，z） 是曲线C绕z轴旋转得到的旋转曲面上任一点（图6-12），过点M作z轴的垂面并交z轴于点P（0，0，z），交曲线C于点M0（0，y0，z）.由于点M是由点M0绕z轴旋转产生的，因此有

图6-12

又因为M0在曲线C上，所以

同理，曲线C绕y轴旋转而成的旋转曲面方程为

由此可知，求旋转曲面方程的方法是：已知某坐标面上的曲线C绕某坐标轴旋转，为了求此旋转曲面的方程，只要使曲线方程中与旋转轴同名的坐标变量保持不变，而以其他两个坐标变量平方和的平方根来代替方程中的另一个坐标变量即可.

【例7】 求由yOz面上的直线z=ky（k≠0）绕z轴旋转所得的曲面的方程.

即

此曲面是以原点为顶点，z轴为旋转轴的圆锥面（图6-13）.

图6-13

图6-14

解 给定的椭圆绕z轴旋转所形成的旋转曲面的方程为

绕y轴旋转所形成的旋转曲面的方程为