非参数欧拉方程模型的估计方法

前文已经讨论了欧拉方程（4.7）的识别性，下面介绍其估计方法。假设对n个家庭进行随机抽样获得的数据集合为，并且观测时期是非递减的，即t1≤t2≤…≤tn，简记。假定样本数据是独立同分布（i.i.d.）的，并假定生成样本数据的结构（g0，b0）∈S。于是，如果假设4.3.1—4.3.3的条件成立时，结构（g0，b0）是点识别的，特别地，假定g0∈G＝｛g∈P：‖g‖＝1｝。

前文已经讨论了欧拉方程（4.7）的识别性，下面介绍其估计方法。假设对n个家庭进行随机抽样获得的数据集合为，并且观测时期是非递减的，即t1≤t2≤…≤tn，简记。假定样本数据是独立同分布（i.i.d.）的，并假定生成样本数据的结构（g0，b0）∈S。于是，如果假设4.3.1—4.3.3的条件成立时，结构（g0，b0）是点识别的，特别地，假定g0∈G＝｛g∈P：‖g‖＝1｝。

设向量W＝（R′，C′，V′，C，V）与具有相同的分布，并假设向量W服从连续分布，f是变量（C，V）的密度函数，g和b分别属于集合G和（0，1）。

定义算子A在g处的Nadaraya-Watson核估计为

设向量W＝（R′，C′，V′，C，V）与具有相同的分布，并假设向量W服从连续分布，f是变量（C，V）的密度函数，g和b分别属于集合G和（0，1）。

定义算子A在g处的Nadaraya-Watson核估计为

其中，对于i＝1，2，…，n，（c，v），同时，对于v＝（v1，…，vl1），

其中，对于i＝1，2，…，n，（c，v），同时，对于v＝（v1，…，vl1），

f（c，v）＝，K是单变量核函数，h≡hn为可能的随机窗宽。

f（c，v）＝，K是单变量核函数，h≡hn为可能的随机窗宽。

类似于欧拉方程模型的识别分析，注意到算子的像空间是有限维闭子空间，算子的特征值和特征函数的个数是有限的且不超过n，且可通过求解线性系统得到。事实上，的任意特征函数（c，v）都具有形式。对于与特征值对应的系数，i＝1，…，n，满足方程

类似于欧拉方程模型的识别分析，注意到算子的像空间是有限维闭子空间，算子的特征值和特征函数的个数是有限的且不超过n，且可通过求解线性系统得到。事实上，的任意特征函数（c，v）都具有形式。对于与特征值对应的系数，i＝1，…，n，满足方程(www.xing528.com)

对所有的i＝1，…，n，如果

对所有的i＝1，…，n，如果

则该特征值问题的解存在。并且，写成矩阵的表达形式为

则该特征值问题的解存在。并且，写成矩阵的表达形式为

因此，在模型可识别的条件下，即可得到b0及g0的估计

因此，在模型可识别的条件下，即可得到b0及g0的估计

特别是若采用严格正的核函数以及严格正的毛收益率，那么中的元素也将严格为正，则对于给定的n≥1，边际效用函数的估计量（c，v）＞0，贴现因子的估计量＞0的概率为1。

事实上，为了便于推导欧拉方程模型估计量的渐近性质，这里仅仅讨论了点识别的充分条件——假定4.3.1—4.3.3，但是它们并不是点识别的必要条件。文献Escanciano＆Hoderlein（2012）提出了点识别更弱的充分条件。

推论4.2.1：在假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.8下，若对hi未施加其他任何的先验假设，hi可识别的必要条件是在RK+G上矩阵