使用主成分分析法进行数据分析

1.主成分分析法的思想和数学模型

主成分分析法的中心思想是，在尽量保留原始数据信息，也即数据的离散程度信息的条件下，对多维数据进行降维，以便于对研究对象进行综合分析与评价。原始数据的信息主要体现在变量之间的方差—协方差关系之中。更进一步，利用最为重要的几个主成分的方差在总体方差中的贡献作为权重，可以得到一个单一的总体评价指标。

主成分分析法的数学模型为：

其中，Y1到Yp被表示为数据X1到Xp的线性加权值，分别被称为第一主成分到第p主成分，它们的方差逐次降低，且相互独立。Yi的方差占Y1到Yp方差之和的比例被称为是第i主成分对总体信息的贡献率。在进行主成分分析时，需要同时考虑降低数据的维数，即减少总体评价时的变量个数和对数据信息的保留。虽然不同文献中的选择并不相同，一般是保留前m（m＜p）个主成分，并使其贡献率之和不低于80%。

2.主成分分析综合评价的计算方法与步骤

假定X是p维随机变量，要对其进行主成分分析，则步骤如下：

（1）数据标准化。

首先求出各个指标数据的均值和方差，均值用表示，方差用σi表示，其中i=1，…，p。这样就可以计算得到原始数据的标准化数据：

所以有Ei）=0，var（i）=1。

（2）求标准化变量的相关系数R。

在相关系数矩阵中，rij（i，j=1，2，…，p）为原始变量Xi与Xj的相关系数，也是标准化变量i与j的相关系数和方差—协方差。

（3）求相关系数矩阵R的特征值和特征向量。(www.xing528.com)

首先，解特征方程|λI-R|=0，得到相关系数矩阵R的特征值λi（i=1，2，…，p），并使其按大小顺序排列，也即λ1≥λ2≥…≥λp≥0；然后分别求出对应于特征值λi的特征向量ei，得到特征向量e1，e2，…，ep。这里需要注意的是，特征向量ei是单位向量。利用数学原理可以知道，e1，e2，…，ep分别是主成分分析模型中的系数矩阵［aij］（i，j=1，2，…，p）中的行向量。

（4）计算主成分贡献率并选取主成分个数。

主成分贡献率的计算公式为：

累计贡献率计算公式为：

一般取累计贡献率达到80%以上的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第1到第m个主成分。

（5）计算主成分得分。

在得到了系数矩阵以后便可以得到前m个主成分的得分：

（6）将选取的主成分加权得到综合评价指数E。

主成分加权综合评价指数E的计算公式为：

本书中基于主成分分析综合评价的一个计算程序见附录一。