线性化物理系统数学模型

严格来说， 几乎所有的物理系统均为非线性系统， 非线性系统不满足叠加性和齐次性，这为控制系统的动态特性分析带来了诸多不便。 在一般情况下， 如果系统中的元器件非线性程度较弱， 或者其非线性程度不在其工作范围内， 则可以直接忽略其非线性， 如弹簧、 三极管等。 实际上， 当系统参数和工作状态仅在较小范围变化时， 多数非线性系统会近似呈现出线性特性， 在这种情况下， 可以采用线性化的方法， 将非线性系统近似为线性系统。

1. 小偏差线性化法

若在工作过程中， 控制系统的状态变量仅在工作点附近小幅变化， 且系统的输入输出关系在工作点处连续可导， 则可用工作点处的切线来近似代替非线性特性曲线， 此时， 变量的增量间满足线性函数关系。 下面将对非线性系统以小偏差线性化的方法进行说明。

考虑一个非线性元器件或系统， 其输入（激励） 变量为x（t）， 输出（响应） 变量为y（t）， 图2－9 所示为小偏差线性化， 系统的输入输出关系用如下非线性函数描述：

图2－9　小偏差线性化

式中， g（x） 表示y（t） 是x（t） 的函数。 假设系统的正常工作点为x0， 且非线性函数在工作点附近的区间是连续可微的， 因此可将g（x） 在工作点x0 附近作泰勒级数展开， 得到

当x－x0 在小范围内波动时， 其二次方及二次方以上的各项可略去， 以函数在工作点处导数为斜率的直线能够较好地拟合函数的实际响应曲线， 因此式（2.37） 可以近似为

式（2.38） 可以被改写为如下增量的线性方程：

或

最终， 可以用增量的线性方程来近似代替工作点附近的非线性方程。 小偏差线性化法在工程上被应用得较为广泛， 其实质是在很小的工作范围内将非线性特性曲线用一段直线来代替。

同理可得， 多变量非线性函数y ＝g（x1， x2， …， xn） 在工作点（x10， x20， …， xn0）处， 通过作多元泰勒级数展开对非线性系统进行线性化近似， 忽略高阶项， 可得线性近似方程为

【例2－7】　对图2－10 所示的摆振荡器的数学模型进行线性化。

解： 摆振荡器模型如图2－10 所示， 摆的质量为m， 摆的长度（到质心） 为l， 摆与竖直方向的夹角为θ， 则作用于质点上的扭矩为

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式中， g 为地心引力常数。 质点的平衡位置为θ0 ＝0°， T 与θ 之

间的非线性关系如图2－11 所示。 利用式（2.6） 求其在平衡点处的一阶导数， 可以得到系统的线性近似， 即

图2－10　摆振荡器模型

式中， T0 ＝0。 于是可以得到

在－π／4≤θ≤π／4 的范围内， 式（2.44） 的精度非常高。 例如， 在±30°的范围内， 摆的线性模型响应与实际非线性响应的误差小于5%。

2. 平均斜率法

若非线性元件输入、 输出关系如图2－12 所示， 使用小偏差线性化法已不能很好地将非线性函数近似化， 则此时可采用平均斜率法得到线性化方程

图2－11　摆振荡器模型的非线性关系

图2－12　非线性元件输入、 输出关系

式中

需要注意的是， 这几种线性化近似方法只适用于一些非线性程度较低的系统， 对于具有较强非线性特性的系统， 如继电特性和饱和特性（图2－13） 等， 不能作线性化处理， 一般可采用相平面法或描述函数法进行分析。

图2－13　较强非线性特性的系统

（a） 继电特性； （b） 饱和特性