串联超前校正的优化方法

由图6.3.2可知，超前校正器的特点是有正的相位，当它与未校正系统串联时可以提高系统的相位裕度γ和穿越频率ωc。因此，如果系统的稳态精度满足要求，而过渡过程指标不满足要求，则可用超前校正器来校正。

【例6.4.1】若单位反馈系统的开环传递函数为

试设计一串联校正器，使其满足指标Kp=∞，Kv=50，γ≥45°，ωc≥24.5（rad/s）。

【解】（1）未校正系统为Ⅰ型系统，Kp=∞；根据要求Kv=50可得

（2）绘制K=50时的未校正系统G0（s）的伯德图，如图6.4.1实线所示，由此图可以查出

（3）确定超前校正器需要提供的最大超前角φmax。

要使系统满足相位裕度γ′=45°，可采用串联超前校正，且应使超前校正器的最大超前角φmax≈45°-8°+13°=50°。由于超前校正器在最大超前角附近的对数幅频曲线有20dB/dec的斜率，校正后新的穿越频率＞ωc，所以需要最大超前角更大一些，试取φmax=55°。

（4）确定校正器的传递函数。

①确定α：由式（6.3.6）可以解出

②确定ωm：将上式的α代入式（6.3.8），则有

为充分利用超前校正器的相位超前特性，使ωm=，故未校正系统在ω=ωm处的对数幅频值应等于-10.05 dB。由图6.4.1查得，ωm==24.7 rad/s。

③确定转折频率：根据图6.4.1和上面求得的ωm和α值，得超前校正器的两个转折频率分别为

最后校正器的传递函数为

（5）绘出校正后系统的伯德图。

校正后系统的开环传递函数为

校正后系统的伯德图示于图6.4.1中的虚线。由图查出=24.7 rad/s，γ′=50°，满足系统的设计要求。

图6.4.1　例6.4.1系统的伯德图

（a）幅频图；（b）相频图

系统校正前的单位阶跃响应超调量σp%=79.1%，调节时间ts=3.86 s，校正后σp%=20.8%，ts=0.248 s。

需要注意的是，本例中的控制器实际上包含了增益K和超前校正器Gc（s）两部分，系统控制器的总传递函数应为

在本书后面的串联校正例题中，我们不再特意指出。

图6.4.2给出了校正前、后系统的单位阶跃响应曲线，校正前为实线，校正后为虚线。

图6.4.2　超前校正前、后系统的单位阶跃响应曲线

从例6.4.1可归纳出频域法设计超前校正器的步骤如下：

（1）根据要求的稳态精度指标，确定系统开环增益K。

（2）绘制未校正系统的伯德图，并查出ωc、γ、Kg等的数值。

（3）确定超前校正器最大超前角φmax。

（4）确定超前校正器的传递函数：

①根据式（6.3.6）计算α；

②由未校正系统开环对数幅频曲线的数值等于-10lgα处查出ωm=的数值；

③确定超前校正器对数幅频特性的两个转折频率ω1和ω2；

④确定超前校正器的传递函数。

（5）绘制校正后系统开环伯德图，并检查是否满足指标要求。若不满足，应重新选取φmax，重复上述过程。

【例6.4.2】设控制系统如图6.4.3所示。若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，位置输出稳态误差ess≤0.1，开环系统穿越频率ωc≥4.4 rad/s，相位裕度γ≥45°，幅值裕度Kg≥10 dB，试设计串联超前校正器。

【解】设计时，首先调节开环增益。因为(www.xing528.com)

图6.4.3　例6.4.2的控制系统框图

故取K=10。则未校正系统的开环传递函数为

画出其对数幅频曲线如图6.4.4所示。由图得未校正系统的ωc=3.1 rad/s，计算出未校正系统的相位裕度为

图6.4.4　例6.4.2系统的伯德图

二阶系统的幅值裕度必为+∞dB。相位裕度小的原因是未校正系统的对数幅频中频区的斜率为-40dB/dec。由于穿越频率和相位裕度均低于指标要求，故采用串联超前校正是合适的。

下面计算超前校正器的参数。为保证系统的响应速度，并充分利用超前校正器的相位超前特性，选择发生最大相位超前角处的角频率ωm等于系统要求的穿越频率。

试选ωm==4.4 rad/s，由图6.4.4查得在ω=4.4 rad/s处，未校正系统的对数幅频值为-6dB，因此有

于是算得α=4。由式（6.3.5）得

因此，超前校正器的传递函数为

超前校正器的参数确定后，得已校正系统的开环传递函数为

其对数幅频曲线如图6.4.4所示。

验算已校正系统的相角裕度γ′，显然，在已校正系统的穿越频率ω′c=4.4 rad/s处，算得未校正系统的相位裕度为γ0=12.8°，而由

算出超前校正器提供的最大相位超前角为φmax=36.9°，故已校正系统的相位裕度为

已校正系统的幅值裕度仍为+∞d B，因为其对数相频特性不可能以有限值与-180°相交。此时全部性能指标均已满足。图6.4.5给出了系统校正前、后的阶跃响应图，系统校正前σp%=60.5%，ts=7.32 s，系统校正后σp%=22.5%，ts=1.22 s。

图6.4.5　系统在校正前和校正后的阶跃响应

根据例6.4.2可以总结出另一种设计超前校正器的步骤如下：

（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K，给出未校正系统的传递函数G0（s）。

（2）利用已确定的开环增益，计算未校正系统的相位裕度。

（3）根据系统穿越频率的要求，计算超前校正器参数α和T。

在本步骤中，关键是选择最大超前角频率等于要求的系统穿越频率，即ωm=，以保证系统的响应速度并充分利用校正器的相角超前特性。显然，ωm=成立的条件是

根据上式不难求出α值，然后由T=确定T值。

（4）验证已校正系统的相位裕度。由于超前校正器的参数是根据满足系统穿越频率要求选择的，因此相位裕度是否满足要求，必须验算。验算时，由

求得φmax，再算出未校正系统在要求的穿越频率处的相位裕度γ0，最后按下式算出

当验算结果γ′不满足指标要求时，需重选ωm值，一般使ωm值增大，然后重复以上计算步骤。

一旦完成校正器设计后，需要进行计算机仿真以检查系统的时间响应特性。这时，需要将系统建模时省略的部分尽可能加入系统，以保证仿真结果的逼真度。若已校正系统不能满足实际系统性能指标的要求，则需要适当调整校正装置的形式或参数。

由上面两个串联超前校正的例子可以看出，超前校正提高了系统的相位裕度，从而增加了系统的相对稳定程度；另外，超前校正一般会增大开环系统的穿越频率，从而增大闭环系统的带宽，使系统响应加快。单纯超前校正一般不影响系统的稳态误差。需要注意的是，超前校正器的相位超前发生在它的两个转折频率之间，因此，我们通常需要将已校正系统的穿越频率选择在这两个频率之间。

应当指出，在有些情况下采用串联超前校正是无效的，它受以下两个因素的限制：

①可用带宽要求。若待校正系统不稳定，为了得到规定的相位裕度，需要超前校正器提供很大的相角超前量。这样，超前校正器的α值必须选得很大，从而造成已校正系统带宽过大，超过系统的实际可用带宽，易使系统失控。

②在穿越频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正。因为随着穿越频率的增大，待校正系统相角迅速减小，使已校正系统的相位裕度改善不大，很难得到足够的相角超前量。在一般情况下，产生这种相角迅速减小的原因是，在待校正系统穿越频率的附近，或有两个交接频率彼此靠近的惯性环节，或有两个交接频率彼此相等的惯性环节，或有一个振荡环节。

在上述情况下，系统可采用其他方法进行校正，例如串联滞后校正或测速反馈校正等。