串联滞后校正方法

串联滞后校正的原理是利用滞后校正器的高频幅值衰减特性，使穿越频率下降，从而使系统获得需要的相位裕度。因此，滞后校正器的最大滞后角应避免发生在系统穿越频率附近。

【例6.4.3】若单位反馈系统的开环传递函数为

试设计一串联校正器使系统满足指标：Kp=∞，Kv=40，γ≥40°，ωc≥2 rad/s。

【解】（1）未校正系统为Ⅰ型系统，故Kp=∞；根据要求Kv=40，可求得K=Kv=40。

（2）绘制K=40时的未校正系统的伯德图示于图6.4.6实线，并查出：ωc=11.1 rad/s，γ=-23.5°，系统不稳定。

（3）由于在ωc附近两个惯性环节的转折频率靠得较近，使φ（ω）随ω增加而下降很快，用一个超前校正器难以达到要求的指标。另外，未校正系统的穿越频率比要求的数值高，故可采用滞后校正。

由图6.4.6实线可以看出，G0（jω）在ω=2.7 rad/s处的相位角等于-134°，与-180°差46°，若用滞后校正器的高频幅值衰减特性使校正后的穿越频率=2.7 rad/s，并恰当地选取滞后校正器的频率范围，使其相频特性在附近的相位滞后很小，这样可能满足γ′≥40°，所以试取=2.7 rad/s。

图6.4.6　例6.4.3系统的伯德图

（a）幅频图；（b）相频图

（4）确定滞后校正器的传递函数。

为使滞后校正器在=2.7 rad/s处相位很小，取

为使=2.7 rad/s，由图6.4.6实线查出未校正系统对数幅频曲线在处应下降22dB，这22dB的下降由滞后校正器的高频幅值衰减来实现，故有

将式（6.4.1）代入式（6.4.2），得

所以，滞后校正器的传递函数为

（5）绘制校正后的系统伯德图。

校正后的开环传递函数为

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绘出校正后的开环系统对数频率特性曲线示于图6.4.6虚线，由图6.4.6查出：=2.7 rad/s，γ′=41.3°，满足设计要求。

校正前、后系统的单位阶跃响应分别如图6.4.7的（a）、（b）所示。校正前系统不稳定，校正后系统σp%=32.6%，ts=5.33 s。

从图6.4.7可以看出，滞后校正系统的阶跃响应以比较缓慢的速度“爬”向稳态终值，出现“爬行”现象，这是因为滞后校正器中引入了较大的惯性时间常数46.83 s。

图6.4.7　滞后校正前、后系统的单位阶跃响应

（a）校正前；（b）校正后

在频域内设计滞后校正器的步骤如下：

（1）根据系统稳态精度的要求，确定开环增益K。

（2）绘制上述K值时未校正系统开环伯德图，并查出ωc、γ、Kg的数值。

（3）根据前面所画的伯德图及系统要求的相位裕度，确定校正后的穿越频率。注意滞后校正器在新的穿越频率处会产生一定的相位滞后，一般先假设为-6°左右。

（4）确定滞后校正器的传递函数：

①取

②由20lgβ=-20lg确定β；

③确定T；

④根据β、T，确定滞后校正器传递函数

（5）绘制校正后的开环系统伯德图，并检查是否满足设计要求。若不满足，则重复上述过程。

可见，滞后校正能够提高系统的相位裕度，改善系统的相对稳定程度，但降低了系统的穿越频率，从而使闭环带宽减小，系统响应速度变慢。

串联滞后校正与串联超前校正两种校正方法的不同之处在于：

①超前校正是利用超前校正器的相角超前特性，而滞后校正则是利用滞后校正器的高频幅值衰减特性；

②对于同一系统，采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽。从提高系统响应速度的观点来看，希望系统带宽越大越好；但是，带宽越大则系统越易受高频噪声及高频未建模动态的干扰。

最后指出，在有些系统中，采用滞后校正可能会得出时间常数大到不能实现的结果，这种不良后果的出现，是由于需要在足够小的频率值上安置滞后校正器第一个交接频率1/T，以保证在需要的频率范围内产生有效的高频幅值衰减特性所导致的。在这种情况下，最好采用串联滞后-超前校正方式。