阳极表面温度的计算方法

1.计算模型

下面针对电弧对阳极表面的烧蚀，尤其是阳极出现阳极斑点（包括点状阳极斑点）的情况，计算阳极触头表面的温度变化和熔蚀规律。因为大电流电弧的烧蚀，触头表面会出现熔化的情况，这样就在触头上根据触头材料的物质状态形成两个区域：液态区域（熔化区域）和固态区域。随着电弧输入触头能量的增加，熔化区域会进一步扩大，固、液两相的分界面也随之发生变化。电弧烧蚀不但造成了触头材料物理状态的改变，同时也改变了触头材料的物理参数，例如，密度、热容、导热系数等，所以需要针对固态相和液态相分别建立传热偏微分方程，求解不同态情况的温度分布。与此同时，固、液两相的分界面随温度的移动还带来了一个问题，传热方程的边界也会随着温度的改变而移动，也就所谓的自由边界问题。这里将采用界面追赶法以及有限差分的数值计算网格，求解燃弧过程中电弧烧蚀造成的触头熔化的自由边界问题。

此温度模型基于以下的假设：

1）此模型只考虑一维半无限大的情况。

2）在一个时间步长之内，电弧输入触头的能量保持不变。

3）触头材料的密度、热容、导热系数等不随触头温度而变化。

4）只考虑热传导效应，不考虑对流、辐射等对温度的影响。

5）不考虑因为金属液滴溅射所造成的质量损失。

6）触头能量的损耗仅取决于触头表面的蒸发量。

图5-7 阳极温度计算模型

图5-7所示的阳极触头温度模型给出了偏微分方程和边界条件。真空灭弧室在短暂的燃弧期间，基本处于绝热的状态，所以只需考虑热传导而不需要考虑对流传导的影响，并且辐射所损失的能量相对于注入的能量基本可以忽略。同时在这段时间内，热量的传导距离有限，所以可以认为模型的求解区域为半无限大一维，即认为固相的边界温度恒为室温且处于无限远处。求解区域根据触头材料的物理状态（液相和固相）分别建立了相应的传热方程，并且固、液两相的分界面随着液相区域的变化而不断移动。燃弧期间电弧不断对触头表面输入能量，而同时表面高温蒸发出的金属蒸气也会带走部分热量。

（1）液相中的热传导方程

在液相中，即熔化区域，热传导方程为

式中 T——阳极触头液态温度（K）；

t——时间（s）；

x——距离触头表面位置（m）；

λ_l——液体金属铜导热率（W·K^-1·m^-1），触头材料铜处于液态，λ_l=174W·K^-1·m^-1；

ρ_l——液体金属铜密度（kg/m³），触头材料铜处于液态，ρ_l=8000kg/m³；

C_p——金属铜定压比热（J·kg^-1·K^-1），C_p=380J/（kg·K）。

（2）固相中的热传导方程

在固相中，即非熔化区域，热传导方程为

式中 T——阳极触头固态温度（K）；

t——时间（s）；

x——距离触头表面位置（m）；

λ_s——固态金属铜导热率（W·K^-1·m^-1），触头材料铜处于固态，λ_s=372W·K^-1·m^-1；

ρ_s——固态金属铜密度（kg/m³），触头材料铜处于固态，ρ_s=8960kg·m^-3；

C_p——金属铜定压比热（J·kg^-1·K^-1），C_p=380J·kg^-1·K^-1。

（3）固、液分界面方程

当触头材料铜发生相变，即由固相变为液相，需要从外界吸收能量，吸收的能量称为熔化焓。Stefan根据冰融化的过程，给出固、液两相交界面变化的关系，称为Stefan条件。针对电弧加热铜触头的问题，可以给出如下的方程：

式中 v_s——触头材料熔化速度（m/s）；

s——固、液两相分界面位置（m）；

Δ_meltH——Cu熔化焓，Δ_meltH=205kJ/kg。

式（5-4）中的第一项代表从触头表面的热源传导到固、液分界面处的热量，第二项代表从分界面处向固态无限远处传导的热量。随着触头表面输入热量的变换，分界面也在不断地运动。当温度高于（或者低于）触头材料的熔点温度时，分界面就会向前移动（或者向后移动），就意味着熔化面积增大（或者减小）。铜的熔点温度为T_m=1356K，所以分界面处的温度始终处于T_s=1356K。

（4）初始条件

假设触头的初始温度等于室温，即

T（x，0）=T₀=300K （5-5）

（5）边界条件

触头表面温度的升高来自电弧对其的烧蚀，而蒸发可能带来温度的降低，所以在燃弧期间x=0处输入触头表面的能量可以用下式表示：

式中 Q——输入触头的总能量（J）；

Q_H——电弧（J）；

Q_L——输入触头的总能量（J）；

λ——金属铜导热率（W·K^-1·m^-1）。

方程边界采用第二类边界条件，符合傅里叶热传导定律，意味着触头温度随位置的梯度的变化应该等于输入触头的能量的负值。负号代表温度从高温传导到低温。此时的导热率应该根据触头表面的物理状态决定，也就是说触头没有熔化前采用固态铜的热导率，而触头一旦开始熔化就采用液态铜的热导率。

考虑电弧电流过零后的情况，此时已经没有电弧加热触头表面，但是因为触头表面依然处于高温状态，所以依然有大量金属蒸气从触头表面蒸发带走部分热量，这样弧后x=0边界条件为

此外，还需要考虑一种特殊的情况，一旦触头表面达到沸点温度T_b=2868K，触头表面的温度将不会继续升高，此时需要采用第一类边界条件对触头表面x=0处的温度加以限制，有

T（0，t）=T_b=2868K （5-8）

因为该计算模型采用一维半无限大模型，所以认为x=∞处的温度始终保持不变，即

T（∞，t）=T₀=300K

2.阳极能量输入

注入阳极的净输入能量由两部分组成：一部分是撞击阳极表面的电子和离子所释放出来的能量；另一部分是因为阳极蒸发所损失的能量。粒子撞击触头表面时所携带的能量包括热能、位能、逸出功和电离能等，其中热能与等离子体中的电子温度、离子温度有关，位能与阳极鞘层电位紧密相关，而逸出功和电离能与触头材料的物理特性有关。阳极温度的损失是因为阳极达到一定高温后，开始有大量的金属蒸气蒸发出触头表面，这些蒸气将携带一部分能量，所以有降温的作用。下面分别讨论这两个过程对阳极净输入能量的影响。

（1）阳极鞘层电位

在高温等离子电弧烧蚀的阳极触头表面，存在一个几微米厚的空间电荷鞘层，这个鞘层维持着电子和离子的比例关系，使得流入阳极的电流与外电路电流守恒。阳极鞘层电位直接影响了撞击阳极触头表面电子和离子的能量，进而影响到输入阳极的能量。鞘层电压降受流入阳极的电流密度直接影响，下面将要分析两者之间的关系。

如果忽略阳极鞘层的径向变化，只考虑一个一维情况下鞘层沿轴向的变化，假设其中的电子速度分布满足麦克斯韦分布，则电子速度分布函数为

式中 x——电子位置（m）；

m_e——电子质量（kg），m_e=9.109×10^-31kg；

v_e——电子速度（m/s）；

T_e——电子温度（eV）；

k——玻尔兹曼常数，k=1.3807×10^-23J·K^-1。

进入鞘层的电子如果能够到达阳极表面，并且被阳极所吸收，则必须克服阳极鞘层电势的影响。这样就要求电子在进入鞘层前的初速度足够高，使得电子所具有的能量能够克服鞘层电场位垒。存在一个最小的速度，如果电子的速度高于这个速度，则电子所具有的能量足够克服势垒到达阳极表面。结合式（5-9），通过积分获得速度从V_min到无穷大的电子数量，可以获得流向阳极电子电流的表达式为

式中 V_min——电子进入阳极鞘层并能被阳极接受的最小速度（m/s）；

n_e——阳极触头表面附近电子密度（m^-3）；

e——电子电荷量（C），e=1.602×10^-19C。

根据能量守恒，使电子运动到阳极的最小速度为，其中ϕ_a为鞘层电位。这样可以获得式（5-10）积分后的表达式，即

式中 ——电子的平均热速度（m/s）。

设离子的速度分布满足正态分布，则

式中 v_i——离子迁移速度（m/s）。

——离子平均迁移速度（m/s）；

σ——离子速度的方差。

同样离子进入阳极也会受到鞘层电场的影响，这样进入阳极的离子速度必须高于最小速度，通过积分，可以获得离子电流密度为

式中 V_min——离子进入阳极鞘层并能被阳极接受的最小速度（m/s）；

n_i——阳极触头表面附近离子密度（m^-3）。

将式（5-13）积分可以得到

式中 ；

——平均离子电荷数；(www.xing528.com)

erf（x）——误差函数，。

这样将电子电流密度和离子电流密度相加，得到最后到达阳极表面的净电流密度为

为了计算阳极鞘层的电位，还必须知道等离子体的基本参数。需要获得的等离子基本参数包括电子温度T_e、电子密度n_e、离子密度n_i、离子平均迁移速度和平均离子电荷数。

Kutzner和Glinkowski测量获得触头材料为铜，电弧电流在120A时，电子温度约为2.1eV，而当电弧电流为230A时，电子温度为2.8～3.5eV；Schellenkens的测量结果在2～3.5eV之间。结合以上研究者的实验结果，电弧电流的幅值会对电子温度产生影响，但是影响有限，同时考虑到实验误差的情况，可以近似地认为在电弧电流在一定范围内，电子温度保持稳定。综合以上，此处设燃弧期间的电子温度为3eV。

王建华采用探针的方法测量了电子密度随电弧电流的变化情况，发现电子密度和阴极电流密度呈线性关系，并且根据测量结果给出了公式：

n_e=C_e×j_c=1.408×10¹⁴×j_c （5-16）

式中 j_c——阴极电流密度（A/m²）。

Boxman获得的C_e为（1.23～2.45）×10¹⁴，而Harris获得的数据为（1.26～1.93）×10¹⁴。此处采用式（5-16）给出的数据，并假设电流在阴极表面均匀分布，这样根据电弧电流幅值就可以获得阴极的电流密度，得到电弧中电子密度。

Kutzner和Miller通过实验测定真空电弧中铜离子的组成成分是Cu⁺为30%，Cu²⁺为54%，Cu³⁺为15%。这样可以得到离子的平均电荷数为1.85。如果认为电弧等离子体处于电中性的状态，则，这样就得到了电弧中离子密度。同时Kutzner和Miller测定的离子迁移速度为10⁴m/s。

将上述实验数据代入式（5-15）就可以获得鞘层电压和阳极电流密度之间的关系。但是为了简化计算，还需要对公式进行归一化处理。令，其中为电子饱和电流，这样可以得到图5-8所示的关系曲线。

图5-8 式（5-15）归一化后求得的鞘层电压与阳极电流密度关系

从图5-8中可以看到当达到约0.9时，鞘层电位从负值变为正值，也就是说当阳极电流密度达到临界值时，阳极鞘层电位可能从负值变为正值。这也就意味着阳极鞘层从最开始，电弧电流较小时，阻碍电子进入阳极，到电流超过临界值后，加速电子进入阳极。阳极鞘层电位的翻转表明，对于电弧电流较大的情况，为了平衡外电路电流，需要有更多的电子进入阳极。因为，所以可以得到鞘层电位翻转时阳极电流密度，同时将式（5-16）电子密度和阴极电流密度关系带入，则可以得到j_a=6.7j_c。这说明如果阳极附近的弧柱收缩，使得阳极表面的电流密度达到阴极表面的平均电流密度的6.7倍时，即可出现阳极鞘层的翻转。此时，电弧形态从扩散态向集聚态过渡，阳极开始出现明亮的亮斑，同时电弧电压也开始出现不稳定的状态，触头表面因为烧蚀，也开始出现熔化现象。

（2）进入阳极粒子所携带的能量

流入阳极的电子所携带的能量包括

1）位能。电子经过阳极鞘层，受到电场作用，获得位能。每个电子获得的位能为eΦ_a。

2）热能。电子的平均热能为（3/2）kT_e。

3）逸出功。电子从材料表面发射出来需要克服势垒的作用，但是当电子进入到材料中有需要释放出克服势垒所需的能量。每个电子所释放的逸出功为eΦ_W。对于触头材料铜，逸出功为4.4eV。

综上所述可以得到进入阳极的电子所携带的能量为

式中 Γ_e——流向阳极的电子通量密度（m^-2·s^-1），Γ_e=j_e/e。

流入阳极的离子所携带的能量包括

1）动能。因为离子的质量远高于电子的质量，所以必须考虑离子所携带动能，平均动能为（1/2）。

2）热能。离子的平均热能为（3/2）kT_i。

3）位能。离子经过阳极鞘层，受到电场作用，获得位能。每个电子获得的位能为。

4）逸出功。离子进入阳极表面时，受到势垒的作用，将吸收一部分能量，逸出功为。

5）电离能。电子和离子在阳极表面复合，会释放出电离能，不同价的铜离子复合时所释放的电离能不同。一价铜离子Cu⁺电离能为745.5kJ/mol，二价铜离子Cu²⁺的电离能为1957.9kJ/mol，三价铜离子Cu³+电离能为3555kJ/mol。考虑电弧等离子体中不同价的离子所占的比重，可以获得电离能为。

综上所述可以得到进入阳极的离子所携带的能量为

式中 Γ_i——流向阳极的离子通量密度（m^-2·s^-1），。

综合式（5-17）和式（5-18）可以得到，进入阳极的净能量为

（3）阳极蒸发损失的能量

同样假设从触头表面蒸发出来的金属原子速度符合麦克斯韦分布，如果以触头表面向外法线为正方向，则速度大于0的原子蒸发出表面，而速度小于0的原子又重新回到触头中。这样可以得到金属蒸气通量的表达式为

式中 ——金属原子的平均热速度（m/s），；

n——金属蒸气原子密度（m^-3）。

同时，如果假设蒸发出的蒸气符合理想气体特性，则P=nkT，带入式（5-20），这样就可以得到Langmuir蒸发公式：

式中 P_s——饱和蒸气压（Pa）；

m——蒸发原子质量（kg）；

k——玻尔兹曼常数，k=1.3807×10^-23J/K；

T——触头表面温度（K）。

如果进一步整理式（5-21），考虑每一个原子蒸发可能带走的汽化热，这样可以得到蒸发所损失的热量与触头表面温度之间的关系：

式中 c——常数，c=5.76×10⁹；

Δ_vaporH——蒸发焓，每个原子蒸发带走Δ_vaporH=3.19eV；

T——触头表面温度（K）。

式（5-22）中的饱和蒸气压与温度具有如下的关系：

log（P_s）=log（1.333×10^-3）×（-A/T+B+Clog（T）） （5-23）

式中 A——固态时A=17870，液态时A=17650；

B——固态时B=10.63，液态时B=13.39；

C——固态时C=-0.236，液态时C=-1.273。

将式（5-22）和式（5-23）联立求解，就可以得到因为金属蒸气蒸发所造成的能量损失。

3.阳极表面温度的数值计算方法

计算中采用界面追踪的方法，获得燃弧期间触头表面温度以及熔化深度的变化规律。将5.2.1节所列方程采用有限差分的格式进行离散。对于求解区域根据触头材料的不同物理状态，分为液相和固相。如图5-9所示，假设网格在X_s处分为两部分，X_j之前的部分为液相，X_j+1之后的部分为固相，X_s将X_j和X_j+1之间的网格分为两部分。为了计算方便，设p_nΔX=X_s-X_j，其中ΔX为网格长度，p_n代表第n步时液相和固相在X_j和X_j+1之间所占的比例。

图5-9 固、液分界面附近网格图

设Tⁿ_m代表坐标位于m点，n时刻的温度值，对应坐标为X_m=mΔX，在t=n×Δt时刻的温度值。ΔX代表网格长度，Δt代表时间步长。此外，下述方程中k₁=λ₁/（ρ₁Δ_meltH），k₂=λ_s/（ρ_sΔ_meltH），称为Stefan数。θ=0，为显式有限差分；θ=1，为隐式有限差分；θ=0.5，为Crank-Nicolson法。

当m＜j时，所对应的热传导方程为式（5-2），代表温度在熔化区域的传导，可以离散为

当m=j时，所对应的热传导方程为式（5-2），代表温度在熔化区域边界的传导，同时因为处于熔化区域的边界位置需要通过插值处理，可以离散为

对X_j+1处的点需要特殊处理，需要考虑两种情况：①n+1时刻的固、液分界面没有越过X_j+1点；②n+1时刻的固、液分界面越过X_j+1点。下面分为两种情况来讨论。

如果p_n+1＞1，则有

如果p_n+1＜1，则有

当m=j+2时，所对应的热传导方程为式（5-3），代表温度在未熔化区域边界的传导，同时因为处于固态区域的边界位置需要通过插值处理，可以离散为

当m≥j+3时，所对应的热传导方程为式（5-3），代表温度在固态区域的传导，可以离散为

此外，自由边界问题还需要考虑，固、液分界面随时间的变化，也就是讨论Xs在不同时刻点的位置。根据Stefan条件式（5-4），离散可以得到

4.阳极表面温度计算结果

由式（5-19）可知，注入阳极的能量与阳极电流密度和阳极鞘层等因素有关。阳极鞘层和电流密度之间的关系可以由式（5-15）获得。假设阳极电流均匀分布在阳极表面，并且按照周期为20ms的正弦波变化，可以得到如图5-10所示不同阳极电流密度条件下阳极表面温度随时间的变化规律。从图中可以看出，随着阳极电流密度峰值的增大，阳极表面温度的峰值也在不断增高，同时电流零点时刻的温度也在增高。在阳极表面的温度低于熔点温度时，对应着电流密度为1kA/cm²和2kA/cm²的两条曲线，温度波形类似于正弦波形。但是与50Hz正弦波不同的是，峰值温度并不是出现在5ms而是出现在7ms左右。这种热迟滞与触头材料的热容有关，使得触头温度并不会立即响应热源注入能量的变化，而会根据热容的大小存在一定时间的滞后。因为这两个电流密度下，表面温度并没有高于熔点温度，所以触头也并未出现熔蚀现象。当阳极电流密度达到3kA/cm²时，温度曲线在6ms之前依然按照正弦波形变化。但是6ms之后，可以看到表面温度的曲线不再平滑，也不按照正弦波的规律变化，此后表面温度稍有增加。6ms时触头表面温度达到了熔点温度，表面也开始熔化，相变对温度的影响开始表现出来，从固态转变成液态会吸收热量也就限制了表面温度的增加。当阳极电流密度达到4kA/cm²时，熔化开始的时间提早到4ms左右，温度峰值2000K出现在7ms左右。当阳极电流密度达到5kA/cm²时，熔化开始的时间为2ms左右，但是对比4kA/cm²时的波形，可以看到5kA/cm²时有明显的削峰现象，3ms后的温度基本保持不变，此时说明强烈的蒸发已经严重影响到了表面温度的增加，蒸发所散失的能量已经高于电弧所注入的能量。蒸发所带走的能量与表面温度直接相关，温度越高所带走的能量更多。图中所示也说明只有温度达到一定程度蒸发所带走的能量才能明显限制表面温度的增长。

图5-10 不同电流密度条件下燃弧期间阳极表面温度

图5-11表示了不同阳极电流密度条件，触头表面熔蚀深度随着时间的变化规律。图中虚线用于标注电流零点时刻。从图中可以看出，触头熔蚀的持续时间以及熔蚀深度峰值随着阳极电流密度的增加而增加，并且熔化开始的时间随着阳极电流密度的增加而提前。3kA/cm²持续时间约为3ms，最大深度为0.3mm；4kA/cm²持续时间约为10ms，最大深度为3mm；5kA/cm²持续时间约为16ms，最大深度为4.5mm。3kA/cm²时，电流过零之前熔化过程已经结束，即又从液态恢复到固态。但是对于4kA/cm²和5kA/cm²的情况，即使在电流过零之后依然分别持续了2ms和8ms。这就意味着，弧后的很长一段时间触头表面都处于熔化的状态，更有利于金属蒸气的蒸发，而不利于开断的成功。

图5-11 不同电流密度条件下阳极表面熔蚀深度

图5-12表示了不同电流密度条件下电流过零后的阳极表面温度衰减的情况。对于4kA/cm²和5kA/cm²的情况，电流过零后触头维持熔化，并有严重蒸发。

图5-12 不同电流密度条件下弧后阳极表面温度的衰减