离散小波变换：信号处理、压缩和去噪的利器

小波变换（Wavelet Transform，WT）是现代频谱分析工具，是继傅立叶变换以来信号处理在科学方法上的重大突破。“小波”就是小区域、长度有限、均值为“0”的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的振荡形式。

傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是时间（或空间）频率的局部化分析，在时域和频域都有良好的局部化特性，即提供局部分析和细化的能力。它通过伸缩和平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间（或空间）细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，这就称为小波变换的“数学显微镜”特性。即使对于非平稳过程，采用小波变换也能获得满意的处理结果。与传统的信号分析技术相比，小波变换还能在无明显损失的情况下，对信号进行压缩和去噪。

小波变换分成两大类：离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）和连续小波转换（Continuous Wavelet Transform，CWT）。两者的主要区别在于，CWT在所有可能的缩放和平移上操作，而DWT采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的。它要求的就是一个个小波分量的系数，也就是“权”。其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地“量”信号，也就是去比较信号与小波的相似程度。信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小。当比较完成后，再将尺子拉长一倍，继续去一步步地比较，从而得出另一组数据。如此循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）。

当尺度及位移均作连续变化时，必将产生大量数据，实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想。将尺度作二进制离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进制离散。当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换。

（一）离散小波变换的原理

离散小波变换能将数字图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效地压缩和存储。此外因为小波变换消除了DCT压缩普遍具有的方块效应，因此小波的粗略边缘可以更好地表现图像。下面对其基本原理进行简要介绍。

设f（x）为一维离散信号，记φjk（x）=2-j/2φ（2-jx-k），ψjk（x）=2-j/2ψ（2-jx-k）这里φ（x）与ψ（x）分别称为定标函数与子波函数，{φjk（x）}与{ψjk（x）}为二个正交基函数的集合。记P0f=f，在第j级上的一维DWT通过正交投影Pjf与Qjf将Pj-1f分解为

式中

这里{h（n）}与{g（n）}分别是低通与高通权系数，它们由基函数{φjk（x）}与{ψjk（x）}来确定，p为权系数的长度。为信号的输入数据，N为输入信号的长度，L为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是，在DWT中输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。

在实际应用中，很多情况下采用紧支集小波（Compactly Supported Wavelets），这时相应的尺度系数和小波系数都是有限长度的，设尺度系数只有有限个非零值：h1，…，hN，N为偶数，同样取小波函数使其只有有限个非零值：g1，…，gN。为简单起见，设尺度系数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列：，n=1，2，…，M（其余点的值都看成0），它的离散小波变换为

式中，j=0，1，…，J-1，J为实际中要求分解的步数，最多不超过log2M，其逆变换为

式中，j=J，…，1。

图2-23　DWT实现图像分解的示意图

采用二维离散小波变换实现对图像数据的处理，一般采用水平与垂直方向上的两次一维小波变换来实现，在具体实现过程中则用滤波器实现离散小波变换。如图2-23所示，S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波器，可得到信号的近似值A，另一个为高通滤波器，可得到信号的细节值D，再经过下采样（即图中的“下”）即得到小波分解系数。

离散小波变换具有可分离性、尺度可变性、平移性、一致性和正交性等特性。在二维图像信号的处理中，离散小波变换具有如下优点：

1）能根据图像特点自适应的选择小波基，从而提高压缩比，而DCT不具有自适应性。

2）可以充分利用DWT系数之间的空间相关性对系数建模，进一步提高压缩比。

3）可以对DWT生成的子带灵活地进行处理。

（二）离散小波变换在图像处理中的应用

1.小波图像去噪(www.xing528.com)

小波图像去噪的一般步骤如下

1）图像的小波分解：选择合适的小波函数以及适合的分解层次对图像进行分解。

2）对分解后的高频系数进行阈值处理：对分解的每一层，选择合适的阈值对该层的水平、垂直和斜线三个方向的高频系数进行阈值量化处理。

3）重构图像：根据小波分解的低频系数和经阈值量化处理后的高频系数进行图像重构。

2.小波图像压缩

图像能够进行压缩的主要原因是：原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性；人眼作为图像信息的接收端，其视觉对于边缘急剧变化不敏感（视觉掩盖效应），以及人眼对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等。基于上述两点，开发出图像数据压缩的两类基本方法：一种是将相同的或相似的数据或数据特征进行归类，使用较少的数据量描述原始数据，达到减少数据量的目的，这种压缩一般为无损压缩；另一种是利用人眼的视觉特性有针对性地简化不重要的数据，以减少总的数据量，这种压缩一般为有损压缩。只要损失的数据不太影响人眼主观接收的效果，即可采用。

3.小波图像增强

图像增强的主要目的是提高图像的视觉质量或者凸显某些特征信息。无论是对人类眼睛结构的剖析，还是基于计算机可视化技术的高级图像分析，图像增强都有着重要的作用。虽然图像增强技术不能增加图像数据本身包含的信息，但是可以凸显特定特征，使处理后的图像更容易识别。通常图像增强的目的主要是放大图像中感兴趣结构的对比度，增加可理解性，或者减少或抑制图像中混有的噪声，提高视觉质量。小波变换可以将图像分解为各个尺度上的子带图像，因为图像分解的低频部分体现了图像的轮廓，高频部分表现为图像的细节和混入的噪声，因此对低频部分进行增强，对高频部分进行衰减，可以实现图像增强的目的。

（三）双树复小波变换

传统的二维离散小波变换不具有平移不变性，其方向选择性也十分有限，在每一个尺度空间中只能被分解成三个方向的细节信息，即水平方向、垂直方向和对角方向。然而在某些特定的情况下，需要对图像的某些方向上的纹理或边界进行描述，此时传统的二维小波变换就无法满足需求。为了克服此缺点，1998年英国剑桥大学的Kingsbury等人提出了双树复小波变换（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DTCWT）。它是在复小波变换的基础上发展起来的，不仅具有传统小波变换的优良的特性，还能够更好地描述图像的方向性信息。

双树复小波变换是通过实数小波变换来实现复数小波变换的，它将复小波的实部和虚部分开，通过两组并行的实数滤波器组来获取小波变换系数的实部和虚部，这样通过实数的小波变换实现了复小波变换。

如图2-24所示，通过两组并行的实数滤波器组实现双树复小波变换，图中“下”代表下采样，“TreeA”和“TreeB”分别代表复小波的实部和虚部，它们分别采用不同的滤波器组。

二维双树复小波变换与二维离散小波变换类似，都是通过小波张量积来实现拓展。在对图像进行二维双树复小波变换时，方法与二维离散小波变换相同，都是先对图像的行进行一维的双树复小波变换，然后再对列进行变换。

双树复小波变换具有良好的方向选择性，并且其振幅没有振荡特性，代价小。由于其显著改善了离散小波变换的平移敏感性和方向选择性，所以双树复小波变换已经应用到包括图像降噪、分割、增强、分类、特征提取、纹理分析、运动估计、编码、水印和稀疏表示等许多方面。

图2-24　一维双树复小波变换的分解示意图

（四）Contourlet变换

小波变换虽然具有多尺度特性，但是不能有效地表示信号中带有方向性的奇异特征。为解决这一问题，Candes建立了脊波理论，脊波变换的主要缺陷在于不能处理曲线奇异性。为解决此问题，单尺度的脊波变换应运而生，其主要原理是采用剖分的方法，用直线逼近曲线。曲波在单尺度脊波的基础上发展而来。曲波变换能够有效捕捉曲线的奇异性，但离散化较困难。于是M.N.Do和Martin Vetterli于2003年提出一种类似于曲波方向性的Contourlet（轮廓波，简称CT）变换，其最大特点是直接产生于离散域。目前CT在图像处理领域的应用日渐增多，研究成果不断涌现。

CT是一种新的多尺度几何分析方法，基本思想是在多尺度的基础上实现方向信息的提取。如图2-25所示，CT通过多尺度分解和多方向分解两部分实现，首先利用拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyramid，LP）对图像进行多尺度分解获得多分辨率特性，即实现奇异点的分离任务（LP结构可将二维图像分成低通和高通两个子带），再用方向滤波器组（Directional Filter Bank，DFB）对各尺度的高通子带进行多方向分解，即完成奇异的收集，将方向基本相同的奇异点收集到一个基函数上进行更集中的描述，合成为CT系数。LP与DFB结合形成的双层滤波器组结构称为塔形方向滤波器组（Pyramidal Direction Filter Bank，PDFB）。图中，Hi和Li构成了拉普拉斯金字塔滤波器。

图2-25　CT对信号的分解过程示意图

CT是小波变换的一种新扩展，具有多分辨率、局部定位、多方向性和各向异性等性质，其基函数分布于多尺度和多方向上，少量系数即可有效地捕捉图像中的边缘轮廓。此外，其冗余度也很低，使得该变换能应用于许多图像处理领域。CT之所以适用于描述自然图像，是因为自然图像中物体的方向信息和纹理信息能够有效地被变换域的基函数简便表示，并能够快速逼近，同时还避免了扰频现象。