探究一阶RC电路的实验研究

【实验目的】

(1)进一步熟练掌握示波器和函数信号发生器的使用。

(2)了解一阶RC电路零输入响应、零状态响应的观察和测量方法。

(3)了解掌握一阶RC电路在不同情况下的功能特点和具体应用。

(4)学习和掌握用实验的方法测RC电路的时间常数。

【实验任务】

1.一阶RC电路用于移相、微分和交流耦合

取20 kΩ的电阻R和470 p F的电容C,构成图7.5.1(a)所示一阶RC电路。

(1)输入频率为100 Hz,峰峰值为2V pp的正弦信号,用示波器同时观测输入、输出波形,测量输出信号的幅度和输入输出的相位差。然后调输入信号频率持续增加至100 k Hz,观察输出信号的幅度和输入输出相位差的变化,分别记录100 Hz和100 k Hz时的测量结果,分析该一阶RC电路的移相规律。

(2)输入信号改为频率5 k Hz,幅度2V pp,占空比50%的单向正脉冲信号,用示波器同时观测输入、输出波形,并在同一坐标系中定量画出这两个波形。

示波器探头分别用×1和×10衰减测量输出信号,观察这两种情况下输出信号波形的差别,并分析原因。

(3)C改为0.1μF,重复(2)的操作。

对比观察(2)和(3)的电路和测量结果,分析一阶RC电路何种情况下可以实现对输入信号的微分,何种情况下可以实现对输入信号的交流耦合,并在所画波形上标明哪一个是微分结果,哪一个是交流耦合结果。

图7.5.1　一阶RC电路

2.一阶RC电路用于移相、积分

取10 kΩ的电阻R和0.01μF的电容C,构成图7.5.1(b)所示一阶RC电路。

(1)输入频率为100 Hz,峰峰值为2V pp的正弦信号,用示波器同时观测输入、输出波形,测量输出信号的幅度和输入输出的相位差。然后调输入信号频率持续增加至100 k Hz,观察输出信号的幅度和输入输出相位差的变化,分别记录100 Hz和100 k Hz时的测量结果,分析该一阶RC电路的移相规律。

(2)输入信号改为频率20 k Hz,幅度2V pp,占空比50%的单向正脉冲信号,用示波器同时观测输入、输出波形,并在同一坐标系中定量画出这两个波形。

(3)调输入信号频率持续减小至2 k Hz,观察输出信号的变化情况,并在同一坐标系中定量画出频率为2 k Hz时的输入输出波形。

对比观察(2)和(3)的测量结果,分析一阶RC电路何种情况下可以实现对输入信号的积分,并在所画波形上标明。

3.实验的方法测得时间常数

从前面所画四组输出、输入波形中,挑选一个适当的输出波形,在波形上标注并读取电路的时间常数,说明选择该波形的理由和读取时间常数的原理。

【实验预习】

(1)阅读本实验【相关知识】,了解一阶RC电路的移相功能和实现微分、积分和耦合的条件。

(2)复习有关一阶RC电路的零输入响应、零状态响应和全响应知识,理解一阶RC电路时间常数的意义。

(3)复习函数信号发生器和示波器的使用要点和注意事项。

(4)使用电路仿真软件对实验电路进行仿真,列出实验注意事项。

(5)选出实验用元件并检测,在面包板上搭接实验用电路。

(6)预习思考:

①实验中可用什么样的信号作为观察一阶RC电路的零输入响应、零状态响应的激励源?

②本实验中观察输入、输出信号波形时,示波器的输入耦合方式选“交流”还“直流”?为什么?

【报告撰写】

实验之前

◆参考本书附录“实验报告格式”,结合实验预习过程完成报告1～5项。

实验之后

◆结合实验过程继续完成报告6～9项。

【相关知识】

1.一阶RC电路的响应及观察

一阶RC电路如图7.5.2所示,电路中RC乘积决定了该电路中电容的充放电的快慢,因此定义τ=RC为电路的时间常数。τ是RC电路的重要参数,是决定RC电路响应的三要素之一。根据τ的定义,在电路中R和C已知的情况下,可以直接计算τ的值。如果电路中R和C的值不明确,也可以用实验的方法测试RC电路的τ值。

图7.5.2所示电路中当电容上的初始电压时,开关K合上后电压E对电容充电,电容电压为:

当时间t=τ=RC时,uC=E(1-e-1)≈0.632E。根据式(7.5.1)可以继续推导:

t=2τ时,uC=E(1-e-2)≈0.865E;

t=3τ时,uC=E(1-e-3)≈0.950E;

t=4τ时,uC=E(1-e-4)≈0.982E;

t=5τ时,uC=E(1-e-5)≈0.993E;

……

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图7.5.2　一阶RC电路

图7.5.3　一阶RC电路零状态响应

可以看出,当充电时间达到3τ时,电容上的电压已经达到总电压E的95%;当时间为5τ时,电容电压已经达到总电压E的99%。

如图7.5.4所示,当一阶RC电路输入为零而电容上的初始电压的情况下,合上开关K后,电容放电电压下降,如图7.5.5所示。电容电压的表达式即零输入响应为:

从式(7.5.2)可知,当时间t=τ=RC时,uC=E e-1=0.368E。

图7.5.4　一阶RC电路放电

图7.5.5　一阶RC电路零输入响应

图7.5.2和图7.5.4所示分别是利用直流电压E,通过开关K的闭合对RC电路进行零状态激励和零输入激励。这种方式产生的零状态响应和零输入响应是十分短暂的单次变化过程,用仪表进行测量和显示比较困难。如果使这两种响应过程重复出现,则可以用示波器进行显示和观察。因此,可以使用占空比50%的单向正脉冲信号作为阶跃激励信号,即利用单向正脉冲的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号,下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号,只要选择单向正脉冲信号的周期远大于电路的时间常数,电路响应就和直流电接通与断开的过渡过程基本相同。

根据前面推算,当电容充电时间t≥5τ时,电容上的电压超过99.3%,可以认为电容已经充满。因此应选择单向正脉冲的脉宽tw≥5τ,其周期则大于时间常数的10倍,即T≥10τ。实际测量时为了便于观察波形的细节和重复性,信号的周期也不宜过长,在10τ～20τ的范围内即可。

单向正脉冲的幅度的选择可根据电路的元件值结合测量仪表的量程和精确度,选择一个整数值即可,整数值便于测量时读数。

图7.5.6所示一阶RC电路在初始电压值为零,输入信号ui(t)为单向正脉冲信号时,电路的瞬变过程就周期性地发生,实质上也就是电路中的电容C周期性地充放电过程。在这一周期性的过程中,电容C上的电压uC(t)和电阻R上的电压uR(t)与输入信号ui(t)的对应如图7.5.7所示。如果输入信号ui(t)的周期T远大于电路的时间常数τ,则电路连续交替产生零状态响应和零输入响应。

图7.5.6　脉冲激励下的一阶RC电路

图7.5.7　一阶RC电路的脉冲激励与响应

2.一阶RC电路的移相作用

电容的电压落后于电流90°,所以一阶RC电路具有移相功能。图7.5.1(a)所示电路输入输出信号的关系可以表达为:

即输入输出的相位差:

φ与电路的时间常数和信号的频率有关,电路的时间常数或工作频率从零趋向无穷,相位差从90°趋向0°。

图7.5.1(b)所示电路输入输出信号的关系可以表达为:

即输入输出的相位差:

φ与电路的时间常数和信号的频率有关,电路的时间常数或工作频率从零趋向无穷,相位差从0°趋向-90°。

3.一阶RC电路对信号的微分和积分

一阶RC电路在满足一定的条件下,分别可以实现对信号的微分或积分,完成波形变换的功能,因而在电子电路中具有许多实际应用。

(1)微分电路

如图7.5.6所示,如果以单向方波正脉冲ui(t)为输入,电阻电压uR(t)为输出,当输入信号ui(t)的周期T大于电路的时间常数τ时(T≥10τ)时,电容的充、放电时间远小于输入信号的周期,则在输入信号变化过程中,电容很快完成充、放电的过程,因此电容上的电压近似与输入信号电压相等,即uc(t)≈ui(t)。所以,电阻两端的电压为:

即电路实现了对输入信号的微分。

因此,当一阶RC电路的时间常数远小于脉冲输入信号的周期(τ=RC≪T),且电阻上的电压作为输出信号,一阶RC电路就成为微分电路,实现对输入信号的微分。

实际进行微分电路的连接时,由于输入和输出信号都需要对地连接和测量,所以必须将图7.5.6所示电路的元件顺序进行调整,实际的微分电路连接形式如图7.5.8(a)所示。

如果电路时间常数不满足τ=RC≪T的条件,则该电路不能实现对输入信号ui(t)的微分。但在τ=RC≫T的条件下,则电路能将输入信号交流部分较完整地耦合到输出端,电路成为电容耦合电路,电容C称为耦合电容。电容耦合是交流放大电路中常见的耦合形式,起到隔断直流信号、传送交流信号的作用。图7.5.8(b)为电路时间常数τ=RC与输入信号周期T具有不同大小关系时,输出信号的不同。

图7.5.8　微分电路及输出波形

(2)积分电路

在图7.5.6所示电路中,如果以单向方波正脉冲ui(t)为输入,电容电压uC(t)为输出,当电路的时间常数τ远大于输入信号的周期T时(τ=RC≫T),电容的充、放电时间远大于输入信号的周期,则在输入信号的变化过程中,电容来不及进行彻底充放电,所以电压变化幅度极小,因此电阻上的电压近似与输入信号电压相等,即uR(t)≈ui(t)。所以ic(t)=,电容两端的电压为:

即电路实现了对输入信号的积分。

因此,当一阶RC电路的时间常数远大于脉冲输入信号的周期(τ=RC≫T),且是电容上的电压作为输出信号,一阶RC电路就成为积分电路,实现对输入信号的积分。

图7.5.9　积分电路及输出波形

实际的积分电路连接形式如图7.5.9(a)所示,如果电路时间常数不满足τ=RC≫T的条件,则该电路不能实现对输入信号ui(t)的积分。电路时间常数与输入信号周期T具有不同大小关系时,输出信号的区别如图7.5.9(b)所示。