稳健性建模算法的分析介绍

前面的分析说明，仅依靠温度敏感点选择是无法同时解决共线性和关联性问题的。因此，本节通过温度敏感点和建模算法相结合的方式解决此问题。

通过相关系数法选择的温度敏感点和热误差之间能够保持长期良好的关联性，说明数据之中确实存在稳定的规律，只是共线性问题使得这种规律的数学提炼较为困难，即数学建模算法从数据中提取真实规律的概率较小。因此，本著作基于多元回归算法，探究共线性对数学建模算法的作用机理，寻求一种能够抑制共线性问题的数学建模算法，进而可以直接选择和热误差关联性强，但也存在高共线性的温度敏感点建模。

对于线性热误差模型

式（6-5）中，y 表示热误差，x1，…，xm 表示作为温度输入变量的温度敏感点。其模型系数β={β0，β1，…，βm}，可通过多元线性回归算法进行估计，见式（6-6）

其中为模型系数β 的估计值，X={c，x1，…，xm}，x1，…，xm 分别为温度敏感点的温度观测值，c 为与x1，…，xm 同型的全为1 的列向量。Y=y，y 为与温度同步的热误差观测值。(www.xing528.com)

模型系数估计值的期望E（）和方差Var（）分别由式（6-7）和式（6-8）表示，如下：

式（6-8）中，σ2 为模型（6-5）的残差的标准差，反映了模型的拟合效果。diag[（XTX） -1]为矩阵（XTX） -1 主对角线元素组成的列向量。通过式（6-7）和式（6-8）可以看出，多元线性回归算法的模型系数估计期望值等于真实值，从统计角度称为无偏估计，但是估计值的方差不为0。估计值的方差决定了估计值接近真实值的概率，方差越大，估计值偏离真实值的概率越大。从式（6-8）可以看出，多元线性回归模型系数估计值的方差和（XTX） -1主对角线元素成正比。而（XTX） -1 主对角线元素数值大小与温度敏感点的温度观测值{x1，…，xm}之间的共线性程度相关。如果共线性较大，会导致XTX 接近奇异矩阵，增大（XTX） -1主对角线元素数值，将导致模型系数估计值非常容易偏离真实值。最终使得建立的热误差模型不但难以反映热误差和温度敏感点之间的真实规律，还会引起模型对温度敏感点的温度测量误差过于敏感，使得模型的预测稳健性下降。

不过A.E.Hoerl 已经证明，如果在建模时，有意地适当增大模型拟合残差，虽然会使模型参数估计值的期望略微偏离真实值，但可以抑制共线性的影响，显著减小模型参数估计值的方差，从而提升建模准确性。进而即可配合关联性最强的温度敏感点建模，增强模型的稳健性。相关的建模算法包括主成分回归、岭回归和拆分回归，具体说明如图6-12 所示。

图6-12 中的横坐标为模型参数可能的估计值，纵坐标为对应落在估计值的概率，对于通常的建模算法，受到共线性的影响后，虽然模型系数估计值落在真实值的概率相较于其他值最大，但模型趋势平缓，落在其他地方的概率无法忽略。因此，共线性造成的模型预测精度波动大，稳健性难以保证。而强稳健性建模算法，虽然模型系数落在真实值的概率不是最大的，但概率最大值对应的位置非常接近真实值，并且非常突出集中。因此，当建模数据存在严重共线性时，采用这种稳健性建模算法能够有效抑制共线性的干扰，取得良好的建模效果。

图6-12　模型估计参数期望和方差