统计推断：回归参数估计过程详解

在本节中，我们将介绍回归参数β和α以及其他参数的估计过程.为此，让β0，α0和γ0表示β，α和γ的真实值.设Xi（t）＝（Zi（t′），H（Fit′）′），θ＝（β′，α′′），θ0＝（β′0，α′0′）便于演示.定义

i＝1，...，n.注意，在模型（2.2.1）和（2.2.2）下，有

然后得出E{Mit（；β0，α0，γ0）}＝0.也就是说，Mit（；β0，α0，γ0）是零均值随机过程.这表明，如果已知β，α，γ，Λ0，则可以通过下式的解来估计μ0（t）

对于θ的估计，定义

其中W（t）是可能与数据相关的权重函数.然后很容易看出E{U（θ0；γ0）}＝0.因此，通过遵循广义估计方程方法（Liang和Zeger，1986），自然可以通过估计方程U（θ；γ）＝0来估计θ.

当然，通常来说，未知的是γ和Λ0（t）.幸运的是，我们具有Ni（t）上的重复事件数据，在这种情况下，下式的解给出了γ的一致估计值，即估计值

（Andersen等，1993；Cook and Lawless，2007）.其中，，k＝0，1.此外，Λ0（t）可以由下式估计

其中，γ用代替.

设和表示由估算方程（3）和U（θ；γ）＝0给出的θ和μ0（t）的估算值，其中式子中的γ和Λ0（t）替换为和.然后按照Lin等（2001）和Sun等（2005）的讨论，可以证明对于足够大的n，和始终存在，并且唯一且一致.要建立θ的渐近正态性，定义

其中，，以及对向量υ有υ⊗2＝υυ′.然后可以证明，当n→∞时，的渐近正态分布的均值为零，协方差矩阵是一致估计，其中

该证明在2.7附录中进行了概述.

为了确定θ和，设s1＜s2＜...＜sJ表示{ti，l，i＝1，...，n；l＝1，...，}的有序观察.然后可以首先从等式（3）推导出，可以重写为j＝1，...，J.将μ0（t）替换为，等式Uθ（；γ）＝0具有以下形式

除某些特殊情况外，通常和θ没有封闭形式，必须使用一些迭代算法来求解上面的等式.结果，确定它们的计算可能会很慢，尤其是在仿真中.尽管协方差矩阵确实具有封闭形式，但由于其复杂性，确定它的估计数也是如此.对于下面的仿真和数据分析，我们使用了matlab中的优化工具箱fsolve.

如上所述，对于某些特殊情况，和θ具有封闭形式，因此确定很简单.例如，假定g（t）＝tη，其中η是一个正常数.在这种情况下，具有由下式给定

并且变为(www.xing528.com)

其中

如果取g（t）＝log（t），则估计也具有封闭形式，可以得到

在这种情况下，我们有

其中

有

也就是说，θ具有封闭形式.

实际上，对于给定的数据集，需要在模型（2.2.2）中选择函数g.与纵向数据分析Lin等（2001）和故障时间数据分析Zhang等（2005）一样，这通常是一个非常困难的问题.常见的策略是尝试几种选择并比较获得的结果.下面对此进行了更多的讨论.我们还指出，尽管模型（2.2.2）包括Sun等（2005）提出的模型作为一个特例，回归参数的估计并没有减少到Sun等（2005）给出的估计.

与函数g的选择有关的一个问题是用给定的g评估模型（（2.2.2）的适当性，或进行拟合优度检验.注意，人们可能也想评估模型（2.2.1），为此，Lin等（2000）给出了这种方法可以应用.为了评估模型（2.2.2）的适当性，遵循Sun等（2007a），可以考虑以下残差的累积总和

其中I{Xi（u）≤x}表示Xi的每个分量都不大于x的相应分量.请注意，在模型（2.2.2）下，F（t，x）预计将在0附近随机波动.然后，可以基于最高统计量supt，x|F（t，x）|构造拟合优度检验.

要确定上述拟合优度检验的p值，定义

其中

通过遵循类似于Lin等（2000）的论点，可以证明F（t，x）的零分布可以通过零均值高斯过程来近似：

此外，可以通过零均值高斯过程分布来近似估计F（t，x），其中（G1，...，Gn）是独立于观察数据的独立标准正态变量.因此，通过反复生成标准正态随机样本（G1，...，Gn）固定观测数据，将sup0≤t≤τ，x|F（t，x）|的观测值与的大量实现比较，可以得到p值.