多重分形谱及各种算法概述

多重分形（multifractal）又称多标度分形，是Mandelbrot在1972年研究湍流时首先提出的。多重分形是研究一种物理量在一个支撑（support）上的分布情况，描述了分形在生长过程中不同层次的特征，每一层次用不同的参量来表示，即多重分形是定义在分形结构上的由多个标度指数的奇异测度组成的无限集合。它刻画了分布在子集上的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部标度性，即用一个谱函数来描述分形不同层次的特征，从系统的局部出发来研究其最终的整体特性。从几何的观点看，组成分形集的若干个子集的分形维数都不同，但可用一个谱函数表示。

多重分形的两个主要参数为多重分形奇异谱（也称为多重分形谱）和扩展分形维数。在不规则分形的简单分维的测定中，我们常使用盒计数法。分形盒维数能反映分形信号的集合特征信息，可对信号的复杂度和全局性进行定量的描述。盒计数法的不足在于，在覆盖数量统计时，不考虑盒子内像素的多少，只要盒内有图形的像素，这个盒子就被计数进来，由此估计的盒维数其实损失了大量丰富的细节信息。多重分形会考虑盒子内像素数或其他物理量的差别，归一化后得到一个概率分布的集，再用一个多重分形谱进行描述，从而充分利用了许多被简单分形忽略的信息。多重分形也可分为规则多重分形和不规则多重分形。规则多重分形谱可以用解析方法或统计物理的方法估计，不规则多重分形谱只能用统计物理的方法进行计算。

另一种多重分形谱估计方法为基于q阶统计矩的降趋多重分形方法。对于一维的多重分形信号，该方法又可分为基于传统的降趋分析类的方法和基于小波分析类的方法，例如，配分函数法、多重分形降趋波动分析法（multifractal detrended fluctuation analysis，MFDFA）、基于经验模态分解法的多重分形降趋波动分析法（multifractal detrended fluctuation analysis based on empirical mode decomposition，MFDFAEMD）、多重分形降趋移动平均法（multifractal detrended moving average，MFDMA）、小波模极大值法（wavelet transform modulus maxima，WTMM）和小波leaders分析法（wavelet leaders，WL）等。另外，对于一维的多重分形信号，有两种多重分形谱分析方法不需要进行q阶统计矩，即梯度模量小波投影法（gradient modulus wavelet projection，GMWP）和局部降趋波动分析法（local detrended fluctuation analyses，DFAloc）。(www.xing528.com)

此外，互相关多重分形谱研究了两个一维分形信号之间的多重分形互相关性，包括基于DFA的多重分形互相关分析法（multifractal detrended cross-correlation analysis based on the detrended fluctuation analysis，MFXDFA）、基于DMA的多重分形互相关分析法（multifractal detrended cross-correlation analysis based on the detrended moving-average analysis，MFXDMA）、多重分形高度互相关分析法（multifractal height cross-correlation analysis，MFHXA）和多重分形降趋偏互相关分析法（multifractal detrended partial cross-correlation analysis，MFDPXA）。

同时，可将一维信号多重分形谱分析推广到二维情形，同样可分为基于传统降趋法和基于小波分析法两大类方法，如二维MFDFA方法（two-dimensional MFDFA，2D-MFDFA）、二维MFDMA方法（two-dimensional MFDMA，2D-MFDMA）、二维WTMM方法（two-dimensional wavelet transform modulus maxima，2D-WTMM）和二维WL方法（two-dimensional wavelet leaders，2D-WL）等。