陈氏三维晶格反演方法探析

晶体的结合能一般可表示为原子间势函数的求和

式中右边第一项为二体势项，即对势项，其后是三体势项、四体势项等等。在很多情况下，对势项对结合能的贡献占主导地位。特别是对金属而言，由于其结合力主要来自共有化电子气作用，用与方向无关的二体势来表示原子间相互作用，能够满足很多的应用需求。

从前面几节可以看出，经验的原子间相互作用二体势有很多形式，并有较大的不确定性，不同的理论依据、不同的近似方法，会得到不同的结果。因此，寻找理论依据充分、计算方法严谨的获取二体势方法是非常必要的。

陈难先等通过一系列的第一原理能带计算，得到各种材料详尽的结合能曲线，运用以虚拟结构和数论方法为基础的晶格反演理论，依据晶体结合能曲线得出多种晶体结构的反演系数，建立起具有一定规模的有效的原子间相互作用势库，成为在原子尺度上进行材料模拟设计的有力工具。从而可以由材料结合能曲线得到同种及异种原子间相互作用对势并运用于EAM模型，用于各种复杂体系的计算。

1.陈氏三维晶格反演

Maddox在《Nature》上的文章“Möbius and problems of inversion”，对Chen的1990年的工作“Modified Möbius Inverse Formula and Its Applications in Physics”给予了高度的评价，并提出了一个具有挑战性的问题：“…这将导致用Chen的思想，通过Möbius框架解决一些未曾解决的问题，…，一个更迫切的问题是，能否把这种方法（注：通过一维晶格的总势能反演原子间相互作用势的一维晶格反演方法）推广到不仅仅是一维的情况。”Chen等人接受了这个挑战性的问题，并给出了三维晶格反演的严格的解析结果，这就是陈氏三维晶格反演。在凝聚态物理领域，它得到了广泛的关注和应用，M.Z.Bazant的报告“Möbius series in version in number theory and physics”对“Chen-Möbius formula”和陈氏三维晶格反演在凝聚态物理领域的贡献进行了分析和阐述。

从第一原理结合能曲线，运用三维晶格反演方法，可以严格地导出原子间相互作用对势。陈氏晶格反演的理论要点如下。

对于同种原子构成的晶体，设从第一原理算出的晶体结合能函数可表示为

式中，x表示最近邻原子间距，r₀（n）是第n级近邻的配位数；b₀（n）是以最近邻距离为单位的、第n级近邻到参考原子的距离；V（x）为对势函数。为了理论上处理的方便，通过低b₀（n）的自乘得到{b（n）}，{b（n）}可认为构成乘法半群，这里多出的虚格点相应的虚配位数均为零。这时有(www.xing528.com)

这里，，由此可反演出的原子间相互作用势普遍公式

式中，I（n）可通过下式求出

这里求和号下b（d）|b（n）表示对所有这样的b（d）求和：即b（d）∈{b（n）}，且可以在{b（n）}中找到一个{b（k）}，使得b（d）b（k）={b（n）}。

可以证明，式（9-89）是式（9-87）的解

2.陈氏晶格反演的应用

基于第一性原理计算和陈氏晶格反演获得的原子相互作用对势，不依赖于经验的形式和方法，直接由金属和金属间化合物的第一性原理自洽能带计算和严格的晶格反演过程得出，其准确性仅仅取决于第一性原理计算的准确度和对势近似的可靠性，因此它在材料的物理性质的理论计算中得到了广泛的应用。

基于第一性原理材料结合能的计算结果，利用陈氏三维晶格反演，得到的原子间相互作用势，可以应用于计算材料的静力学和动力学特性，如：利用原子势，可以计算Ni₃Al的声子谱和弹性常数，金刚石类型材料的声子谱，Mo、Cr和Cu等过渡族金属的声子谱，Li、Na、K、Rb等碱金属的声子谱，以及Fe₃A1声子谱和振动熵等，并且计算结果和实验结果基本一致。

Ni₃A1是航空工业十分关注的一种金属间化合物，其第三元素的添加和材料的改性得到了广泛的研究，有关其择优代位问题已有大量实验，其中块状材料择优代位的实验约30多种。应用陈氏三维晶格反演得到的原子间相互作用势，对这一问题进行了理论上系统的研究和预测。通过对周期表中元素的替位行为进行广泛的预测和对比，这一方法的计算结果表明，除Co、Cu、Cr、Fe、Mn、Pd、Pt、Ir、Os、Tc、Ru、Rh、Re代Ni位外，其他元素都表现出代Al位的趋势。与已有的30多种择优代位实验结果相比较，除Sc以外，其余计算结果都与实验一致。对于一些没有实验数据的元素，如Hg、Bi、Eu、Gd、Dy，则通过计算预测了它们的代位趋向。同时还预言了晶界择优代位和表面择优代位趋势。