多变量系统模型简介

MPC是一种基于优化的控制策略，能够非常自然地处理约束和多变量（Multivariable）控制问题。多变量工业过程是指被控过程包含多个输入变量和/或多个输出变量。流程工业的控制对象通常是多变量过程，输入与输出之间的关系不是一对一的。这里，一个容易忽略的事实是：对同一个过程，取多一些变量与取少一些变量相比，前者可能更容易实现控制器，满足控制要求。假使一个系统应该具有10个输入10个输出，则人为取5个输入时，可能或者造成自由度降低，或者供前馈的信息减少；而人为取5个输出进行优化，则未必能够反映对另外5个输出的要求。假设要建立水、空气污染程度（输出）和工业发展状况（输入）之间的关系模型，则同时考虑相邻几个地区的模型可能更好些，毕竟水和空气是流通的；也许加入风向、风速和降雨量等作为干扰变量，更科学些。在这个关于污染的例子中，如果考虑的因素不够，甚至难以得到有效的模型。所以，从科学性的角度看，不能担心变量多。

模型预测控制中，使用最多的模型是线性经验模型^[38]，简称线性模型。线性模型大致可以分为两大类：输入输出模型和状态空间模型；或者基于另外一种分类方法：参数化模型和非参数化模型。状态空间模型属于参数化模型，而输入输出模型包括：非参数化的输入输出模型、输入输出参数化模型。下面以离散时间模型为例，给出几种常用的模型形式。

1.状态空间模型

在理论上研究成果最丰富的，恐怕要属状态空间模型了。对线性时不变离散时间系统，其状态空间方程为

其中，x＝x-x_eq，u＝u-u_eq，y＝y-y_eq，{x_eq，u_eq，y_eq}为{x，u，y}的稳态工作点（平衡点）；、和分别为过程的输入（包括MV和DV）、输出和状态；A、B、C、D为系统参数矩阵；为零均值过程噪声；为零均值量测噪声（关于噪声的各种名字因具体场合而不同，但通常无本质区别）且满足

其中，κ_pq为Kronecker符号。这表明η_k和ξ_k都是白噪声。

考虑如下的状态空间方程（也称为积分状态空间方程）：

其中，Δ＝1-z^-1为差分算子[即Δx（k）＝x（k）-x（k-1）]，其他符号的意义以及{η，ξ}（k）的性质同前。方程（1-15）可以变换为

这种形式的好处是利用{u，y}（k）的增量数据进行辨识时，不会加强噪声的不利影响。采用增量数据进行辨识的好处是不需要知道{u，y}（k）的稳态工作点。

省略Δ和，将式（1-13）和式（1-16）统一表示为

该模型与如下模型具有同样的一般性：

其中，E、F为系统参数矩阵。也就是说，式（1-18）并非是比式（1-17）更一般的描述，因为如果η_k和ξ_k是白噪声，则和也是白噪声。模型（1-17）与如下模型具有同样的一般性：

因为和，本质上式（1-18）和式（1-19）具有同样的形式。由第2章的讨论可知，即使要求η_k和ξ_k不相关，即要求式（1-14）中S＝0，对线性状态空间模型的描述而言也没有带来更多的特殊性。

2.ARX模型

ARX（AutoRegression with eXogenous input）模型是一种输入输出参数化模型。与非参数化模型相比，参数化模型的结构是紧凑的，且可以准确地表示线性系统。

直接省略{y，u}前的或Δ，则ARX模型的数学表达式为

A（q^-1）y（k）＝B（q^-1）u（k）+ξ（k） （1-20）

其中，、和分别为输入（即eXogeneous input）、输出和零均值过程噪声；{A，B}（q^-1）为相应的多项式矩阵。当{y，u}前省略的是Δ时，式（1-20）也称为ARIX（AutoRegression Integral with eXogenous input）模型。注意u可能包括MV和DV，DV包括可测干扰和不可测干扰。

ARX模型具有以下特点：

（1）可以直接表示稳定、不稳定动态过程，较之下面介绍的非参数化模型适用范围更加广泛。

（2）准确度与阶次有关，在模型辨识过程中需要指定模型的阶次。

当ξ（k）＝A（q^-1）e（k）、且A（q^-1）可逆时，得到

y（k）＝A（q^-1）^-1B（q^-1）u（k）+e（k） （1-21）

这个模型被称作OE（Output Equation）模型。

记

其中，{A₁，…，A_n}的维数为n_y×n_y，{B₀，B₁，…，B_m}的维数为n_y×n_u，皆为常数矩阵。当ξ（k）＝0且A（q^-1）可逆时，得到从u到y的矩阵分式描述，即

y（k）＝G（q^-1）u（k），G（q^-1）＝A（q^-1）^-1B（q^-1） （1-22）

在研究控制策略时，经常采用G（q^-1）的最简形式，即

称为从u到y的传递函数矩阵。通常，传递函数矩阵中的模型参数较之矩阵分式描述要少得多，但传递函数矩阵用于辨识是不方便的。

除了上述ARX模型的特殊形式外，以下是一些ARX模型的扩展形式：

（1）ARMAX（AutoRegression Moving Average with eXogenous input）

A（q^-1）y（k）＝B（q^-1）u（k）+C（q^-1）ξ（k） （1-23）

当省略的是{y，u}前的Δ时，也称为ARIMAX（AutoRegression Integral Moving Average with eXogenous input）模型。当C（q^-1）ξ（k）≡0时，称为确定性自回归滑动平均（Deterministic AutoRegression Moving Average，DARMA）模型。

（2）Box-Jenkins(www.xing528.com)

y（k）＝A（q^-1）^-1B（q^-1）u（k）+D（q^-1）^-1C（q^-1）ξ（k） （1-24）

（3）一般模型

F（q^-1）y（k）＝A（q^-1）^-1B（q^-1）u（k）+D（q^-1）^-1C（q^-1）ξ（k） （1-25）

在科学研究中，经常首先给出连续时间的传递函数矩阵模型G（s），这样的G（s）更能直观地展示模型的物理意义，也为更多人所熟知（如时间常数、零极点、模态等概念）；然后离散化后，得到以上所讨论的离散时间的输入输出参数化模型。

3.非参数化输入输出模型

输入输出模型包括参数化模型和非参数化模型。有限脉冲响应（Finite Impulse Response，FIR）模型与有限阶跃响应（Finite Step Response，FSR）模型都是典型的非参数化模型。FIR模型和FSR模型都只适用于描述稳定型过程。

直接省略{y，u，f，v}前的或Δ，则对于一般的MIMO系统，FIR模型的一般形式为

其中，、、、、分别表示可控输入、被控输出、可测干扰、不可测干扰、零均值量测噪声；l反映了时间的次序。此时的脉冲响应是有限的。模型参数H反映了过程输入与输出之间的多变量脉冲响应关系，即由多个单入单出（Single Input Single Output，SISO）脉冲响应模型h构成的系数矩阵。具体地，对具有n_w个输入和n_y个输出的MIMO过程，其脉冲响应系数矩阵如下：

其中，h_ij（l）为针对第j个输入和第i个输出的第l个脉冲响应系数。本质上，FIR模型也是一种ARX模型，具有如下形式：

y（k）＝B（q^-1）u（k）+E_f（q^-1）f（k）+E_v（q^-1）v（k）+ξ（k） （1-27）

当省略了{y，u，f，v}前的时，式（1-27）是ARX模型的特例；当省略的是Δ时，式（1-27）是ARIX模型的特例。在MPC工程实践中，由于所处理的对象多为慢过程，通常以分钟级的时间单位作为采样周期，以多变量过程中达到稳态时间最长的SISO子过程作为选择模型时域{N_u，N_f，N_v}的基准。一个SISO系统的FIR模型为

其中，e（k）为建模误差。与ξ（k）相比，e（k）中包含了未建模干扰的影响等，不过这里没有更多的精细化区别。模型参数h（l）为系统在单位脉冲输入下的输出采样，如图1-4所示。对于稳定的过程，其脉冲响应在某个时刻N后将趋于零。

图1-4 线性系统的脉冲响应

直接省略{y，u，f，v}前的或Δ，则对于一般的MIMO系统，FSR模型的一般形式为

式（1-29）中，S与式（1-26）中H的对应关系为和H（i）＝S（i）-S（i-1），这样即可实现FIR模型与FSR模型的相互转换。同脉冲响应系数矩阵一样，对于具有n_w个输入和n_y个输出的MIMO过程，其阶跃响应系数矩阵如下：

一个SISO过程的FSR模型为

阶跃响应系数s（j）亦可通过采样单位阶跃输入下的输出获得，如图1-5所示；对于渐近稳定的过程，阶跃响应在某一时刻N后趋于平稳。

图1-5 线性系统的阶跃响应

例1.2 下面用FIR模型推导FSR模型。省略e（k），将式（1-28）展开，得

y（k）＝h（1）u（k-1）+h（2）u（k-2）+…+h（N）u（k-N） （1-32）

令Δu（k-i）＝u（k-i）-u（k-i-1），则有

则式（1-32）可改写为

y（k）＝h（1）Δu（k-1）+（h（1）+h（2））Δu（k-2）+（h（1）+h（2）+h（3））Δu（k-3）+…+（h（1）+h（2）+…+h（N））u（k-N） （1-33）

应用可得式（1-31）。由式（1-32）得到式（1-33）有个好听的名字，即其为阿贝尔变换。

4.非线性模型

很多化工过程（如化学反应器）呈现的动态特性是显著的非线性。这类系统的阶跃响应通常与当前工作点、变化幅值、变化方向都有关系。虽然有些时候可以根据过程的非线性特性进行变换，然后再使用线性MPC方法，但基于非线性变换的方法在实际应用中不是万能的。这样，采用一般非线性模型的预测控制也得到了广泛的重视。

具有比较一般意义的非线性模型为

对应式（1-34），一种较特殊的形式为

其中，ψ_NN（x_k，u_k）为非线性项，如果被认为是神经网络（Neural Network）也恰好吻合。由于非线性模型可以描述系统的全局特性（至少比线性模型可描述的范围更广），因此不必认为{x，y，u，f，v}前应有。由于非线性运算不满足叠加原理，直接在{x，y，u，f，v}前加上Δ通常是不可行的。总之，不同于线性的情况，不必认为{x，y，u，f，v}前省略了或Δ。或者换句话说，如果{x，y，u，f，v}前有或Δ，则对非线性模型而言不宜省略。

从更一般的意义上来说（不限于流程工业），以上讨论的离散时间模型不必对应某种连续过程，这样离散时间模型[如式（1-34）]表示了变量在不同时刻（不限于固定周期）之间的关系，如经济规律关系、人口发展关系。因此研究这些模型的控制策略总有未预见的价值。