标准差法及其在VAR计算中的应用

标准差法(standard derivative method)也称为方差—协方差法(Variance-covariance method)或delta常态法(delta normal method)。因为求算VAR需要用到资产报酬的标准差或变异数以及资产间的共变异数，因此有此称呼。标准差法主要是假设目标资产的报酬是呈现正态分布，再求出过去股价的波动率，并假设未来的波动率也等于过去的波动率，利用统计的概念求出风险值。

一、单一资产的VAR

单一股票的VAR求法是，首先求出此股票过去每天报酬的标准差，再以95%的置信水平，取1.65个标准差，或在99%置信水平下，取2.33个标准差，而求得临界报酬率R*，再乘以V来求出VAR。

其中，R*为临界股票报酬率，σ为每天股票报酬率的标准差，V为股票目前的总价值， VAR取正值，所以加上负号。

【例题3】 以标准差法求鸿海95%下1天的VAR。

解: 利用例题1的100个鸿海历史股价报酬率，求出每天报酬率的标准差σ为2.264%，则95%的一天的VAR=1.65×2.264%×1000000=37360(元)。

另外，如果要换算成99%的VAR，只要将95%下的VAR乘以2.33再除以1.65即可，如上面的例子，99%VAR=37356×2.33/1.65=52750。[4]

二、两个资产的VAR

假设证券组合内有A、B两支股票，则证券组合95%的VAR可由下列公式14-3求得:

VARP=－α95%×σP×V=1.65×σP×V (14-3)

其中: V表示证券组合目前的价值，σP表示证券组合的波动率，而

其中: w A、w B分别为股票A及B价值占证券组合价值的权数，ρ为报酬的相关系数。权数在买入部位时为正，卖出部位时为负。

当两支股票个别的VAR已知时，也可利用公式14-5求出证券组合的VARP:

其中: VARA、VARB分别表示股票A及B的VAR。

以下举例说明标准差法下，两种股票证券组合VAR的计算方法。

【例题4】 同例题3，求此证券组合在标准差法下95%、1天的VAR。

解: 解法一:

由历史资料可知，鸿海的每日股价报酬波动率为2.264%，中国石油的每日股价报酬波动率为2.65%，鸿海与中国石油的相关系数为0.852，且两支股票个别权重分别为:

代入公式14-4，可求出证券组合每天报酬的波动率为:

代回公式14-3，求出证券组合的VAR为:

VARP=1.65×0.0231×1500000=57170(元)

解法二:

先利用单一股票的标准差法，计算出中国石油的95%、1天的VAR=1.65× 0.0265×500000=21860元，由例题2已求出鸿海95%、1天的VAR=37360元，另外利用鸿海、中国石油100天的历史报酬，求出其相关系数为0.852，将以上数据直接代入公式14-5，即可求出证券组合的VAR值:[5](www.xing528.com)

其实使用公式14-5会较公式14-3来得方便，并不需考虑权重的计算。另外我们也发现，证券组合的VAR会比两支股票单独VAR的加总来得小，这是因为这两支股票间相关系数小于1，所以有分散风险的效果。相关系数越低则分散风险的效果越大，证券组合的VAR也将越小。

三、两种以上资产的VAR

如果证券组合包含两支以上股票或两种以上资产，则计算VAR的原理仍然是相同的。只是在N支股票的证券组合中，需要求出N支股票报酬的标准差，同时也需求出N支股票彼此间的相关系数。

其中，VARi为第i支股票的风险值，ρij为第i、j支股票报酬的相关系数。或也可由

VARP=1.65×σP×V (14-7)

而，ωi为第i支股票价值占证券组合价值的权重。

动动脑

如果证券组合包括买入一支股票(譬如中国石油)，另外再卖空一支股票(譬如中国移动)，那么公式14-4中的权数w A、w B、相关系数等，应该如何改变呢?

四、估算VAR的时间大于1天时

之前所讨论的都是计算1天的VAR，如果求出1天的VAR以后，想要了解10天的VAR该如何计算? 是否需要重新计算呢? 答案是不需要。因为我们知道假设1天的标准差为σ，则10天的标准差应该为，因此在标准差法下，10天的VAR，可以写成1天的VAR，再乘以，即:

或写成通式

因此例题3中，如果要求10天的VAR便可得到37356×=118130元。但要注意的是，公式14-8只适用于线性报酬的证券组合。当考虑到非线性报酬，譬如期权时，上式便不能通用。另外历史模拟法及蒙特卡罗模拟法也不能使用以上公式。

五、考虑预期报酬率不是零的情况

VAR的定义为95%(或99%)置信水平下的最大可能损失，一般是指绝对的损失量。譬如前面介绍的历史模拟法及蒙特卡罗模拟法，所求出来的VAR便是绝对损失。但在标准差法的VAR，却是相对损失量的概念。如果要计算绝对损失金额的VAR，便需要另外考虑股票或证券组合的预期报酬。如公式14-2中，我们并没有考虑股票的预期报酬率，也就是假设预期报酬率为0。摩根银行的风险计量法模型(Risk Metrics)，也是假设预期报酬为0，因此相对损失量就等于绝对损失量。当然，在时间很短的情况下，譬如1天的期限，股票的预期报酬很小，因此可以视为0。此时相对损失就等于绝对损失。但是，当求算VAR的时间加长，譬如10天或1个月，或投资金额相当大，预期报酬便不可忽略。此时欲求算绝对损失VAR，公式便需稍加修正，也就是在求算临界报酬R*时需加入预期报酬μ，以求得绝对损失。[6]

R*=ασ+μ (14-9)

所以公式14-2的VAR应该修正为:

VAR95%=－R*×V=－(ασ+μ)×V (14-10)

假设σ=2%，则ασ=－1.65×2%=－3.3%，即原来相对损失为3.3%。如果预期报酬为μ=1%，此时绝对临界报酬率应该为－3.3%+1%=－2.3%。换句话说，在95%下求出实际绝对的损失为2.3%。因此，利用标准差法如果没有考虑到正的预期报酬率，则会高估预期的损失。换句话说，如果利用标准差法求VAR，那么求出来的VAR还需减去正的预期报酬，所以VAR会降低。

标准差法是比较容易计算的一种方法，只要知道资产的标准差及资产间的相关系数，就可以很快求出单一资产或证券组合的VAR。而且，前面也提过，如果要求不同的置信水平下的VAR或不同天期下的VAR都可以很快地转换。但是，标准差法的缺点是必须做统计的假设(一般是正态分布)，无法捕捉肥尾(fat tail)的情形。另外，对于非线性损益的商品如期权、债券等，标准差法就有其所短了。

动动脑

一般市场上由于有涨跌幅限制，股价分布未遵循正态分布。你认为哪一种方法计算出来的VAR可能比较合理?