互换与债券VAR求法的优化策略

利率互换是买方支付固定利率并收取浮动利率的合约，可以看成是买入浮动利率债券，加上卖出固定利率的债券。因此，利率的变动会影响互换的价格。债券的价格同样也受到利率的影响，本节只讨论债券VAR的估算，至于利率互换VAR的计算也很类似，限于篇幅，在此不讨论。债券的VAR求法可以如同股票一样，采用债券市场价格来求，或将债券看成是利率的金融衍生工具而利用完全评价法，将到期收益率的变动代入债券评价公式而求出临界债券价格，再和购入的价格相比较。另外，也可以和期权的delta-gamma法一样采用部分评价法。只不过在求债券的VAR中我们是以到期期限(duration)代替上一节期权的delta，而以凸性(convexity)代替期权的gamma。在此分别说明如下:

一、以债券的价格求算VAR

如同前面介绍单一股票VAR的求法一样，我们也可以利用债券过去的价格求算VAR。但是和股票不一样的是，债券在接近期满日时，债券价格会逐渐收敛到面值，因而波动会减小。再者，对于刚上市不久的新债券(如同前面提到刚上市的期货契约一样)，由于历史价格不多，因此无法像股票一样求出VAR。另外一个方式是仿照上一节期权的求法，先求出债券到期收益率的变化，再代入债券的完全评价法或部分评价法。

二、以完全评价法求算VAR

先求出债券到期收益率y(yield)的临界变动量y*，然后代入以下债券的评价公式求出债券的临界价格:

则

其中: P为今天债券价格，P*为临界债券价格，C为支付的利息或本金，t为每一次支付的时间，T为到期期限，y为债券到期收益率，V为投资金额。

三、以部分评价法求VAR

债券的久期(duration)是债券价格与到期收益率间的切线斜率，而凸性(convexity)是指此切线斜率因为到期收益率变动而产生的变动大小。债券的久期很像期权的delta，凸性很像期权的gamma。在期权中，我们用delta及gamma求算VAR。同样地，我们也利用久期加上凸性来求算VAR。因此，利用泰勒展开式，每1元债券价格的变动可以表示成[2]:

那么根据公式15-6，便可以得到债券的VAR:(www.xing528.com)

其中D*为修正的久期(modifiedduration)，等于，C为凸性。原本的久期D的定义为，修正的久期，代表投资者买入债券需要多久才能收回本金及利息。也可解释为利率变动1单位，引起债券价格变动的百分比。譬如下例中的D*=3.4489表示利率每变动1%，则债券价格将变动3.4489%。因为债券价格和到期收益率的关系不是线性的，因此有必要加入凸性，以捕捉非线性的部分，但一般而言，凸性的影响不大。

因为到期收益率曲线为凸向原点的曲线，而债券买方的风险在于利率的上涨，当利率上涨使债券价格下跌时，曲线的斜率会变得较平坦，也就是风险会比用D*求出来的VAR要低一点。因此，第二项的VAR变成负项; 反之，债券卖方的风险在于利率下跌，当利率下跌时，价格上涨，此时到期收益率曲线的斜率变得较陡，因此风险变大，第二项的VAR变成加项。我们发现加入凸性的VAR和前面加入gamma的VAR一样，都是卖方VAR要增加，买方VAR会减少。

【例题7】 例如你买入100万元债券，发行日2008年7月20日，其票面利率2%，当天到期收益率0.86%，价格104.829，D*=3.4489，凸性C=815.68。利用部分评价法求95%、1天VAR。

解: 利用过去125天到期收益率数据得到临界到期收益率变动量y*=0.024%。

1. 部分评价法: 利用公式15-6:

债券的VAR =×100万≌808元

2. 完全评价法: 利用公式15-5求得债券临界价格为104.745，所以债券的VAR=×100万=800元

由上面数据可以发现，债券的VAR比起股票、期货或期权小很多，一般只有本金的0.1%～0.5%，和股票、期货的3%、4%或期权的30%、40%差异相当大。