巧添平行线求比例线段的方法和技巧

材料来源：

上海科技教育出版社《初中数学同步学习与辅导九年级》。

知识平台：

比例线段、相似三角形、平行线分线段成比例定理。

拓展意义：

变式教学是我国传统优秀的教学策略，在教学中具有非常重要的作用。变式教学主要有三种变式拓展形式：一题多解、一题多变、一法多用。它们有利于构建学生特定的经验系统。特定的经验系统对学生学习成就的提高和能力的培养至关重要。在学生掌握了比例线段、相似三角形、平行线分线段成比例定理之后，以一道习题为研究背景，组织学优生一题多解，再反过来找到多解之间的数学本质，这不仅能够发散学生的思维、培养学生的创新意识，更能够引导学生回归到对数学概念和定理的深刻解读，提高数学素养。

活动建议：

在下文的12种解法中，开始的几种方法比较简单，学生独立思考，第一种解法由教师示范讲解，强调（1）为什么添加平行线；（2）平行线如何用两次；（3）如何量化。第二、三、四种方法分小组完成，让他们讨论出思路，自己独立完成一种方法，其余方法根据学情有选择的安排。然后，分组完成一种或两种方法，其关键是怎样找到适合的方法。最后，教师的点睛必不可少，让学生知道几种解法的由来。

活动方案：

活动一：一题十二解

教师提问：△ABC中，E是AC边的中点，点F在AB边上，AB=4AF，FE的延长线交BC的延长线于点D。求证BC=2CD。

学生课堂独立思考论证，教师组织学生交流分享，具体方法如下：

解法一：如图1，过点C作CM∥AB交FD于M，则MC=AF=，所以DC =，于是得到BC=2CD。

解法二：如图2，过点E作EM∥AB交BD于M，则，BM=MC，所以DC=，于是BM=MC=CD，因此BC=2CD。

解法三：如图3，过点C作CM∥FD交AB于M，则AF=FM=，所以FM=，因此BC=2CD。

图1

图2

图3

解法四：如图4，过点F作FM∥AC交BD于M，则BC=4MC，FM= ，所以EC=，DC=2MC，因此BC=2CD。

解法五：如图5，过点E作EM∥BD交AB于M，则ME=，AM=MB，所以AF==，FM=，ME=，因此BC=2CD。

解法六：如图6，过点F作FM∥BD交AC于M，则FM=，AM==，所以ME=，FM=，因此BC=2CD。

图4

图5

图6(www.xing528.com)

解法七：如图7，过点A作AM∥BD交DE的延长线于M，则AM=CD，AM=，所以BD=3CD，BC=2CD。

解法八：如图8，过点A作AM∥FD交BD的延长线于M，则BD=3DM，DE=，所以CD=DM，因此BD=3CD，BC=2CD。

解法九：如图9，过点B作BM∥AC交DF的延长线于M，则EC=AE= ，所以DC=，BC=2CD。

图7

图8　

图9

解法十：如图10，过点B作BM∥FD交AC的延长线于M，则EC=AE=EM，所以EC=，因此BC=2CD。

解法十一：如图11，过点D作DM∥AB交AC的延长线于M，则 ，又AC=2AE，BA=4FA，所以AE=，AE=EC=CM，因此BC=2CD。

解法十二：如图12，过点D作DM∥AC交BA的延长线于M，则，又AC=2AE，BA=4FA，所以BF=FM=，AF=，所以AM==，因此BC=2CD。

图10

图11

图12

活动二：十二归一

教师引导总结：题目中已知A、B、C、D、E、F六个点，本题十二种添加平行线的方法，正好过每个点有两种添加平行线的方法。其中过C、E、F三点添加的平行线在图形的内部，大家容易想到；过A、B、D三点添加的平行线在图形的外部，大家一般不习惯这样添加。

在图形内部添加平行线，解法一、解法二、解法三比较简单；在图形外部添加平行线，解法七、解法九、解法十比较简单。

活动三：课后拓展练习

请你根据题目特点，选择合适的方法，完成下列两题。

1.如图13，△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F。求证CF=2AF。

图13

图14

2.如图14，△ABC中，AB=10，AC=16，∠BAC=60°，点D是AB边上的一个动点，直线DE交AC于点E，交CB的延长线于点F，∠ADE=60°。设AD=x，DF=y，求y关于x的函数关系式。

活动小结：

本节课有三个活动。活动一由教师介绍方法，让学生了解如何利用添加平行线和知道如何量化。活动二是本节课的重点，也是难点，要引导学生分类讨论时要化归思想解决问题，要留给学生充分时间思考、讨论。活动三可以根据课堂情况灵活处理，主要是探究出方法，有比较地选择适当的方法才是关键，即尽量不去破坏原题的数据。至于前面方法为什么可以破坏，请学生讨论得出。最后的练习部分留到课后由学生自主探究学习，教师做适当点拨。