基于核心素养的高中数学教学设计案例

函数的单调性

【教材分析】

“函数的单调性”是高中数学教材必修一第二章第三节的内容，在学习本节内容之前，已经学习和掌握了函数的概念、定义域、值域以及函数的表示方法，这为学习本节课内容起了良好的铺垫作用。本节课内容对以后整个函数的学习都至关重要，在高中课程中具有承上启下的作用。所以，掌握本节课的内容，为以后学习函数打下了理论基础。

【教学目标分析】

1.理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法。

2.通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力。

3.在运用单调性解决问题的过程中，进一步提高数学的运算能力和数学推理能力，认识到数学知识的应用价值。

【教学重难点】

教学重点：函数单调性概念的理解及应用。

教学难点：函数单调性的判定及证明。

【教法分析】

根据本节课的教学内容与目标和教学的重难点，本节课教学遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，采用情境引入法和共同探究的教学方法。本节课先向学生呈现实际生活问题引入课题，为概念学习提供生活背景，激发学生探究问题的欲望和学习兴趣，让学生的思维从问题开始，让每个学生积极地参与到课堂中，并在形成概念的过程中，合作探究，教师帮助和引导学生，正确地形成概念，然后在习题中逐步得到深化。

【学法分析】

在教学过程中，教师呈现问题情境，让学生思考解决。通过教师的启发与点拨，学生不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性上，然后通过对函数单调性概念的理解，最终解决了本节课的教学重点与难点。整个过程中学生积极参与，积极思考。在探索的动态活动中，学生体验到了知识的形成过程，培养了自主学习的能力和严谨思考问题的习惯。

【教学过程】

1.创设情境，引入课题

探究问题1：德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵。经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准。他经过对自己的测试，得到了一些数据，见表11-1。

表11-1　实验数据表

问题：观察这些数据，可以看出，记忆量y是时间间隔t的函数。当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图（这就是著名的艾宾浩斯曲线），从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？

师生活动：学生独立思考并回答问题。教师指出，在生活中我们关心很多数据的变化规律，这对我们的生活特别有利，比如股票价格、降雨量等。用函数的观点解释这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小，从图像上看就是上升还是下降。函数的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性。

设计意图：从生活例子出发，让学生对图像的上升和下降有着初步的直观和感性认识，为下面的概念讲解做进一步的铺垫，同时让学生感受到数学在生活中应用的广泛性，激发学生的求知欲。

2.指导观察，形成概念

探究问题2：让学生作出函数y=x与y=x2的图像，设计以下问题：观察它们在哪个区间内是上升的？在哪个区间是下降的？能否用数学的语言将上面两个函数上升或下降的特征描述出来？

师生活动：教师在问题的基础上，进一步强化对函数的感性认识，展示函数y=x和y=x2的图像，让学生观察在整个定义域内y随x的变化情况。在知识过渡的关键处，要求从函数变量的角度分析问题，这时留给学生足够的时间，让学生小组合作探究，通过观察、思考与探究后，以小组为代表对问题作出回答。先让学生说，随后教师补充修正。

设计意图：符合学习者的认知规律，从学生熟悉的函数y=x，y=x2入手，教师借助直观图像，使学生对单调性的认识由形到数，让学生感受到函数图像的增减变化，对函数单调性的认识实现由感性到理性的过渡。另外，让学生合作探究，激发了学生学习的潜能，符合人本主义和建构主义学习理论。

探究问题3：是否能够根据自己的理解说说什么是增函数与减函数？

师生活动：学生还是以小组为单位进行合作交流，思考探究并回答问题。如果函数f（x）在某个区间上随着自变量x的增大，y也增大，我们说函数f（x）在区间上是增函数；如果函数f（x）在某个区间上随着自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f（x）在区间上是减函数。教师指出，我们的这种认识是从分析图像的变化得到的，是对函数单调性的一种描述性的认识，下面从另一个角度描述，从数值变化的角度思考描述就得到以下概念。

定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

学生类比得到减函数的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那就说函数f（x）在区间D上是减函数。(www.xing528.com)

设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，培养学生的逻辑推理能力。

探究问题4：图11-1是定义在区间［-5，5］上的函数y=f（x），根据图像说出函数的单调区间以及在每一单调区间上它是增函数还是减函数。

图11-1　函数图像

师生活动：教师直接提问，学生独立思考并回答。

解：函数y=f（x）的单调区间是［-5，-2），［-2，1），［1，3），［3，5］，其中函数y=f（x）在区间［-5，2），［1，3）上是减函数，在区间［-2，1），［3，5］上是增函数。

设计意图：概念形成后，要通过习题对概念进行巩固和内化，本题的练习是通过图形加深对函数单调性等概念的理解，这个过程有利于培养学生的直观想象能力。

探究问题5：怎样从解析的角度说明f（x）=x2在区间［0，∞）上是增函数？

师生活动：（1）在给定区间内任取两个数，如3和4，因为32＜42，所以f（x）=x2在区间（0，∞）上是增函数。

（2）仿照（1）取多组数值去验证均满足，所以f（x）=x2在区间［0，∞）上是增函数。

（3）任取x1，x2∈［0，∞），且x1＜x2，因为（x1+x2）（x1-x2）＜0，即，所以f（x）=x2在区间［0，∞）上是增函数。

设计意图：顺应学生的思维从特殊到一般，引导学生从图形和语言文字进行辨析，使学生意识到自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任取自变量，同时也给了证明函数单调性的方法。

3.应用概念，提升能力

探究问题6：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大，试用函数的单调性证明。

问题：（1）是函数吗？

（2）你能画出图像吗？

（3）函数是否具有单调性？你能作出猜想吗？

（4）如果具有单调性，你能用单调性的定义加以证明吗？

师生活动：教师引导学生思考并回答。

设计意图：对物理定理的证明，采用了数学的方法，将学科之间的知识形成一个系统，有利于数学知识的迁移，促进了学生数学核心素养的形成，又让学生认识到函数单调性概念的应用。

4.归纳小结，提高认识

教师先让学生对本节课的知识进行梳理，然后针对学生出现的问题进行纠正和补充，系统总结本节课的知识与方法。

知识与技能：理解函数的单调性的概念，会判定和证明函数的单调性。

过程与方法：在概念探究的过程中学生经历了直观图像的变化到抽象概念的形成、从特殊函数的观察过渡到一般知识的总结以及感性到理性的思考变化过程，重点指出本节课用到了数形结合的数学思想方法。

5.课后作业

作业的布置要根据学生学习的水平分层次布置，分为必做题和选做题。

【反思与评价】

本节课的引入从实际问题出发，结合具体函数，让学生直观地观察函数图像变化，引导学生从数值的角度分析其变化的特征，然后根据数与形的结合，实现学生由感性思维向理性思维的飞跃，有利于培养学生数学核心素养，同时激发学生学习的兴趣。

注重知识的发生过程，从具体的函数出发，引导学生合作交流，在分析具体问题的过程中，层层设问，探究函数单调性的概念，总结证明函数单调性的方法，体会函数单调性的意义。在这一过程中，学生经历了由具体到一般的推理，有利于培养学生的逻辑推理能力。

归纳小结中，引导学生从知识和技能方面先总结本节课的知识，然后再引导学生对本节课所用到的数学思想和方法加以总结，从整体上把握本节课所学的内容和方法，将所学知识形成一个网络，有利于数学核心素养的形成。同时，在总结和反思中，渗透数学思想方法，有利于知识的迁移，进而潜移默化地培养学生的数学核心素养。