小学生数学学习认知特点及基本方式-教学方法创新研究

为了让学生在小学阶段能获得适应未来社会生活和发展能力所必需的数学知识、技能、思想方法和解决实际问题的能力，教师必须充分了解小学生数学学习认知特点和基本方式，才能发挥引导者的作用，施以最合适的教学技能，正所谓“教人者必先知人，知人者必先知心”。^[3]

（一）小学生数学学习的内涵及认知特点

小学生数学学习是一种特殊的学习活动，是指小学生在教师指导下，按照国家数学课程标准要求，根据小学数学课程提供的信息资源和学习线索有计划、有步骤地掌握数学知识技能，促进自身数学知识经验、能力和情感态度持久变化的活动过程。小学数学认知过程是数学学习的过程，其实质就是数学思维活动的过程。小学生的数学认知就是主体通过对数学教材内容、数学知识运用感知、学习、分析、综合、概括等思维方法去实现对抽象的数学知识理解、掌握，同时能运用到生活中的过程。在这个数学思维过程中，学生要将新的学习内容与原有的数学认知结构相互作用，从而形成新的认知结构。根据小学生已有的认知水平，小学生数学认知有以下特点。

1.顺序性

小学生对数学内容的认知一般都会经过感知、表象、符号三个连续的阶段。感知是认知的前提，小学生的形象思维大于逻辑思维，因而先要对数学知识进行感受和体验，知道这是什么，才会去进行下一步的记忆、思考。初步感知后进入表象阶段，即学生头脑里保存客观事物的具体形象。比如，学生对整数认识之后，记住了它，进而才会对这个整数进行理解，去掌握和运用它，由此便进入符号阶段，即学生将头脑里所获得的表象进行加工提炼，把感性认识上升为理性认识。其实这就是学生将知识内化为一种认知的过程，这种过程是不可颠倒的，小学生在学习抽象数学知识时需要遵循这个普遍的顺序规律。

2.发展性

小学生数学学习经历从低级向高级发展的过程，他们的数学思维会从最初的具体形象思维向逻辑抽象思维发展，根据数学知识渐进性，小学生数学认知会从未知到已知，从现象到本质，一直向前发展。如低学段学习整数的加减法、乘除法；中学段学习整数混合运算和小数加减法；高学段则学习小数乘除法和分数混合运算。

3.反复性

小学生的认知具有不稳定性，需要多次、反复认识才能获得对事物的理解。在学习数学的过程中，对数学的认知过程是一个不断发展的过程，要经过多次反复训练才会渐渐形成稳定的数学认知。所以在数学教学中，课堂练习至关重要，课后巩固也相当关键。

（二）小学生数学认知的基本方式

小学生数学认知的基本方式主要为同化和顺应，他们通过这两种方式去建构自己的认知结构。

1.同化

在小学数学学习中，同化是指学生在学习中将新的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生变化的过程。例如，小学生学习了整数的乘法运算后，再学习分数的乘法运算时，他们就可用整数乘法的运算意义来理解分数乘法运算的意义。从同化的意义不难看出，同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的有关内容相联系，即原有认知结构中有能同化新知识的旧知识。在实际运用中，同化可以分为以下几种类型。

（1）下位学习

下位学习又称归属学习，是指将学生认知结构中的数学知识在包摄性和概括水平上高于所要学习的新知识，把新的数学知识直接归属到原有认知结构的适当部位，使新、旧知识相互联系的学习过程。如学生掌握小数的概念之后再学习循环小数概念的过程就是一个下位学习的过程，因为循环小数是小数的一部分，它直接可以归于小数的概念。下位学习的学习效果取决于学生对认知结构中具有上位作用的原有知识的掌握水平。如果学生对小数概念掌握得好，那么他们对循环小数的学习就更容易掌握；反之，如果学生没有弄清楚小数的概念，那么他们对循环小数就难以有深刻的理解。

（2）上位学习

上位学习又称归总学习，是指学生在掌握几个概念或命题后，进一步学习一个包摄性和概括化水平更高的概念或命题的过程。如学生在一至三年级学习整数的加、减、乘、除运算法则；四年级学习四则混合运算的法则。四则混合运算法则比单独的加、减、乘、除运算法则的包摄性更高，所以是上位学习。上位学习不仅要求学生认知结构中的原有内容，而且要求新、旧知识之间具有直接联系，如平行四边形与长方形之间就构成上位学习关系，而平行四边形和三角形就不能构成上位学习关系。

（3）组合学习

组合学习又称联合学习，指所学新知识与学生认知结构中的原有知识既不能形成下位学习关系又不能形成上位学习关系，但在学习中把它们合理地组合起来可能产生某种新的意义的学习过程。如分数与除法两者谁也不能包含谁，但它们联合起来却能产生新的意义——分数与除法的关系，这里对分数与除法关系的学习来说就是一种组合学习。组合学习必须具备两个条件：一是学习的新知识本身必须具有逻辑意义；二是用于组合的原有知识之间要具备产生新意的要素。

2.顺应

顺应是指某些新的数学知识不能直接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造学生原有认知结构使其适应新知识学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的认知结构的过程，简言之，顺应就是改造原有认知结构而建立新的数学认知结构的过程。例如，学生在掌握了常数运算后，引入方程运算，但方程中的未知数是一个常量，由于之前学生的运算活动中没有接触过未知数运算，因此，学生必须要改变原来的认知结构，将常数运算的认知结构改变为常量运算的认知结构，才能理解方程的意义。

在数学学习中，学生一般通过这两种途径来实现顺应：一是调整；二是并列。调整就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。例如：在列方程解决问题的学习中，就可以把未知数“X”赋予和已知数同等的地位参与列式和运算。这种调整使学生的认知结构主动适应列方程解决问题的学习。并列就是赋予新知识和认知结构中某些原有观念以一定意义的外在联系，并把新知识和旧知识连接成一定的结构。如学习小数除法时，要把之前整数除法采用列竖式计算时所学的知识作为基础，再学习新方法；被除数与除数的小数点都要向右移动相同的位数，直到除数与被除数都是整数才能进行列竖式计算。

在小学数学学习中，同化和顺应总是相辅相成的，一方面在改造新的数学知识内容的同时学生也必须适当调整自己原有的认知结构，使新知识与原有的认知结构更加吻合；另一方面学生在调整原有认知结构的同时，也总是要对新的数学知识做适当改造，将其内容改造成更利于接纳的形式，从而保证原有认知结构与新的数学知识之间的相互适应。

（三）小学数学学习分类(www.xing528.com)

小学数学学习一般分为数学概念学习和数学命题学习。

1.数学概念学习

（1）数学概念学习的内涵

数学概念学习指学生认知、理解同类数量关系或空间形式的共同特征的心理过程。

在小学阶段，数学概念一般由名称、例证、特征、定义基本成分构成。

第一，名称。名称就是用名词或符号来给概念命名。如正方形、长方形、三角形、自然数、整数、小数等就分别是一些具体数学概念的特点名称。

第二，例证。例证是指能反映一类数学对象本质属性的具体事物，它分为肯定例证和否定例证。一切包含有概念的共同关键特征的事物概念叫肯定例证，反之就是概念的否定例证。

第三，特征。特征主要指能反映概念本质属性的关键标志。如“含有未知数的等式”就是方程的关键标志或者特征，其他如用什么字母表示未知数，未知数在方程中所处的位置都是无关标志或者特征。

第四，定义。定义就是用特定的词语（或符号）对数学概念的内涵做出科学的规定。如“在同一平面内永不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。小学低年级有许多概念（小数、圆等）教材并没有给出明确的定义，而是通过给出概念的一系列正反的例证，从中概括出这些概念的共同属性和名称，让学生从中获得初级概念。这并不是因为这些概念本身没有定义，而是教材编写者为了解决数学概念的抽象性与儿童思维的具体性之间的矛盾而采取的特殊方法。

（2）小学生数学概念学习的基本方式

小学阶段，数学概念学习主要通过数学概念形成和数学概念同化两种认知方式进行。

第一，数学概念形成。数学概念形成指学生依据直接经验，从大量的具体例子出发，在数学概念的具体例证中通过归纳总结出一类数量关系或空间形式的共同属性，从而获得初级概念，并把概念的本质属性推广到同类事物中的过程。这种方式不仅是小学低年级学生学习数学概念的主要途径，也是高年级学生掌握某些抽象事物的重要途径。如六年级学生学习“圆柱体”的概念，可以先观察奶粉桶、杯子等一系列圆柱的肯定例证，然后在教师的帮助下归纳出这些物体形状的共同属性，在此基础上得出“圆柱体”的概念。

第二，数学概念同化。所谓的数学概念同化就是指学生利用头脑里已有的数学概念，以定义的方式直接揭示新概念的本质属性，从而获得二级概念的过程。这种认知方式一般在小学高年级比较普遍。如学习“方程的解”这一概念时，因为学生的认知结构里已有了方程、未知数和未知数的值等相关概念，所以学习时便可以直接通过定义揭示其本质属性，并将这一概念作为一个受条件限制（使方程左右两边相等）的特殊的未知数的值，纳入原有的有关“未知数的值”的认知结构中去。小学阶段概念形成和概念同化是相辅相成、有机结合的。如正方形、长方形、垂直、平行、分数、圆等概念，教学时一方面通过大量的实际例子丰富学生的感性认识，让他们获得抽象概念本质属性的客观依据；另一方面又通过定义更深刻地揭示所学概念的本质属性，以此来加深学生对概念内涵的理解。

2.数学命题学习

数学命题学习是小学数学学习中较高层次的学习，是学好小学数学的关键。

命题是对客观世界数量关系和空间形式及其计算规律的概括与总结，或是对有关计算过程具体实施细则的具体规定。如运算定律和性质、面积计算公式等。对这些内容的学习，我们称为数学命题学习。由于数学命题学习反映的是几个数学概念之间的关系，因此它们的学习层次和复杂程度都高于概念学习。数学命题学习和掌握的关键是获得数学概念学习之间关系的理解，而数学概念学习之间的各种关系的理解又依赖于新命题和原有认知结构中有关知识的联系。由于新命题和原有认知结构中有关知识的关系可分为归属学习、归总学习和并列学习三种关系，所以数学命题学习也可分为以下三种基本形式。

（1）归属学习

如果学习者原有认知结构在概括层次上高于所学新命题的知识，那么新命题和原有认知结构的关系就构成归属关系，利用这种关系获得的数学命题的学习形式称为归属学习。如我们在学习了平行四边形面积公式后，再学习梯形面积公式时，便可以通过制补、拼合把梯形转化为平行四边形，从而得出其面积计算公式。很明显，梯形面积的计算方法就可以通过归属学习形式去掌握。

（2）归总学习

通过对原有认知结构中有关内容的归纳和综合，概括出新的数学命题的学习方式称为归总学习。

归总学习在小学数学学习中有着非常广泛的运用。概括运算定律和性质、总结运算法则、建立概括层次较高的计算公式等通常都要采用归总学习。归总学习从认知方式来看，主要依靠的是顺应，它只有通过改造原有的认知结构才能获得新命题的意义。因此一般来讲，归总学习比归属学习更困难。

3.并列学习

利用所学数学命题与原有认知结构中有关知识之间的并列关系，通过类比掌握数学命题的学习形式叫作并列学习。并列学习所采用的思维方式主要是类比，其关键在于寻找新命题与原有认知结构中有关法则、规律、性质的联系，在分析这种联系的基础上通过类比实现对新命题的理解和掌握。在小学数学学习中并列学习也有十分广泛的运用，如在学习分数的基本性质时，就需要联系“商不变性质”来掌握分数的基本性质。在命题学习中，这三者之间并不是彼此孤立的，它们之间有着密切的联系。这种联系常常体现在同一数学命题的学习中，只是某些数学命题以归属学习为主，而某些数学命题以归总学习或并列学习为主。在实际教学中，要注意引导学生根据具体情况灵活运用几种学习形式，从而促进他们对数学命题的更好掌握。