测量误差的基本概念及修正方法

（一）测量误差

在一定的条件下，任何一个物理量的大小都是客观存在的，这个客观存在的量值称为物理量的真值。测量的目的就是要力图得到被测量的真值。然而在具体测量时，要经过一定的方案设计，运用一定的实验方法，在一定的条件下，借助于仪器由实验人员去完成。实验理论的近似性、实验仪器灵敏度和分辨能力的局限性、实验环境的不稳定性、人的实验技能和判断能力等因素的影响等，使测量所得的值与客观真值有一定差异。我们称这种差异为测量误差。^[3]

测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。在理论上，测量结果与被测量真值之差称为绝对误差。绝对误差是一个有量纲的代数值，它表示测量值偏离真值的程度。测量的绝对误差与被测量真值之比称为相对误差。相对误差反映了测量结果的准确度，是一个无量纲的量，通常用百分数表示。

误差存在于一切测量中。随着科学技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但不会降到零。

（二）误差的分类

误差的产生有多方面的原因。根据误差的性质及产生的原因，可分为系统误差、随机误差（偶然误差）和粗大误差三类。

1.系统误差

在同一条件下对同一物理量进行多次重复测量时，误差的绝对值和符号（正、负）均保持不变或测量条件改变时，误差按某种确定的规律变化，这类误差称为系统误差。

（1）按数值特征可分为定值系统误差与变值系统误差

定值系统误差：在整个测量过程中，误差的大小和符号保持不变的叫定值系统误差。这类系统误差可经高一级仪器校验后，定出其误差值，以便在实际测量中加以修正。

变值系统误差：在测量条件变化时，按一定规律变化（线性变化、周期变化）的系统误差叫变值系统误差。

（2）按掌握程度可分为已定系统误差与未定系统误差

已定系统误差：已定系统误差的符号和绝对值可以确定，一般在实验中通过修正测量数据及采用适当的测量方法（如交换法、替换法、补偿法等）予以消除，能确定其大小和正负，可以进行修正和消除。

未定系统误差：这类误差在实验过程中不能确定其大小和正负。在数据处理中，这类误差常用估计误差限值的方法得出。

（3）系统误差的来源

仪器的结构和标准不完善或使用不当引起的误差。例如刻度不准、零点没有调准、仪器水平或铅球未调整、砝码未经校准等。

理论或方法误差：它是由测量所依据的理论公式本身的近似性或实验条件达不到理论公式所规定要求等引起的。例如单摆测重力加速度时所用公式的近似性，称重量时未考虑空气浮力，采用伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响。

环境的影响或没有按规定的条件使用仪器引起的误差。例如标准电池是以20℃时的电动势数值作为标准值的，若在30℃条件下使用，不加以修正，就引入了系统误差。

实验者生理或心理特点，或缺乏经验引入的误差。例如有的人习惯于侧坐斜视读数，就会使估读的数值偏大或偏小。

2.随机误差（偶然误差）

随机误差是指在消除系统误差之后，在相同条件下对一物理量进行多次测量时，每次测量的误差大小、正负没有规律、随机变化。

多次测量的条件有无法控制的微小变化。如电磁波的干扰、温度与气压的涨落、地壳震动等。

人的感官灵敏度的限制。如用米尺测量长度时，由于各人眼睛分辨力的不同，在读数时就会有误差且各不相同。

测量对象本身的不均匀性。如圆柱的直径在各处不同，有大有小。随机误差在单次测量时可大可小，可正可负，但是当测量次数足够多时，随机误差服从统计分布规律，可以用统计学方法估算随机误差。

系统误差的特点是重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现这几次偏大而另几次偏小的情况。因此，系统误差反映了每一次测量都偏离真值的程度，即测量结果的准确度（准确度指测量结果的平均值与真值的接近程度，接近程度越高则系统误差越小）。要减少系统误差，必须校准测量仪器，改进实验方法，设计在原理上更为完善的实验仪器。偶然误差是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。偶然误差总是有时偏大有时偏小，并且偏大和偏小的概率相等，从统计规律来看，满足高斯正态分布。因此，偶然误差反映各次误差之间的分散（或精密）程度，即测量结果的精密度（偶然误差越小，精密度越高）或可重复性。要减少偶然误差可以多进行几次测量，求出几次测量数值的平均值。这个平均值比一次测得的数值更接近真实值。

3.粗大误差

粗大误差是由于测量系统偶然偏离所规定的测量条件和方法，或在记录、计算数据时出现失误而产生的误差。粗大误差实际上是一种测量错误。含粗大误差的测量值称坏值或异常值，正确的结果中不应包含粗大误差。在实验测量中要极力避免过失错误，对这种错误数据应予以剔除。

（三）有效数字

物理量的测量值都有误差，即这些测量值都是一些近似数，因此它们与数学中的数字应该有不同的意义和处理方法，必须采用有效数字，并制订其运算规则。

1.有效数字的概念

任何测量中，所得数据包括两部分：从仪器的刻度上准确地读出来的，称可靠数字；在仪器最小分度值以下还可估读一位数字，称可疑数字。有效数字是由测量结果中所有的可靠数字加上紧接在可靠数字后面的一位可疑数字组成的。

2.有效数字的基本性质

有效数字的位数与仪器的精度（最小分度值）有关，也与被测量大小有关。对于同一被测量，如果使用不同精度的仪器进行测量，测得的有效数字位数是不同的。通常用一个测量结果具有的有效数字个数的多少来说明测量的精确度。一个测量结果的有效数字多，说明这个测量结果精确度高。

有效数字的位数还与被测量本身的大小有关。用同一仪器测量大小不同的被测量，其有效字位数也不相同。被测量越大，测得结果的有效数字位数也就越多。(www.xing528.com)

（1）有效数字的位数与小数点的位置无关

有效数字的个数与十进制的单位变换无关，即与小数点的位置无关。数字前面的“0”不是有效数字，换算单位时不要随意补“0”。

如用0.01g的物理天平称得物体质量为15.48g，有4位有效数字。以mg为单位时，若写成15480mg显然是不合理的。为解决这个问题，采用科学记数法。科学记数法的表达方法为：保留正确的有效数字个数，乘以10的幂方来表示数值的数量级。例如0.0342m可写成3.42×10－2m；15.48g可以写成1.548×104mg等。

（2）有效数字尾数的修约法则

在处理测量数据时，经常涉及尾数的修约问题。

（3）有效数字的运算规则

间接测量是由直接测量通过函数关系求得的，计算结果也应该用有效数字表示，所得结果也只有最后一位是可疑数字。其运算过程依照下列规则来判断数字性质：①准确数字与准确数字进行四则运算，结果为准确数字。②准确数字与可疑数字以及可疑数字与可疑数字进行四则运算，结果为可疑数字。

从有效数字运算规则出发，可得到四则运算中运算结果有效数字的确定方法。

（4）加减运算结果有效数字的确定

如果若干个物理量参与单纯的加减运算，那么所得结果有效数字末位的数位与参加运算的各数据中小数点后位数最少的相同。

（5）乘除运算结果有效数字的确定

如果有若干个物理量参与乘除运算，运算结果的有效数字的位数一般与参加运算的各数据项中有效数字位数最少的相同。

（6）其他几种函数运算结果的有效数字确定

乘方、开方运算中，结果的有效数字位数一般取与底数的有效数字位数相同。对数运算：所取对数结果尾数的有效数字位数应与真数有效数字位数相同。对于其他函数形式运算结果的有效数字的确定，可以根据级数展开的方法，再根据四则运算的有效数字确定方法来加以确定。常数π、e等有效数字位数可以认为是无限制的，在计算中一般应取比运算各数中有效数字位数最多的还多一位。

3.测量结果有效数字的确定方法

一般而言，仪器的分度值是考虑到仪器误差所在位来划分的。由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下。

一般读数应读到最小分度以下再估一位，但不一定估读1/10，也可根据情况（如分度的间距、刻线及指针的粗细、分度的数值等）估读最小分度值的1/5、1/4或1/2，但无论怎样估，最小分度位总是准确位，最小分度的下一位是估计数。

有时读数的估计位就取在最小分度位。如仪器的最小分度值为0.5，则0.1、0.2、0.3、0.4及0.6、0.7、0.8、0.9都是估计的；如仪器的最小分度值为0.2，则0.3、0.5、0.7、0.9都是估计的。此时不必再估到下一位。

游标类量具，只读到游标分度值，一般不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。

数字式仪表及步进读数仪器（如电阻箱）不需要进行估读，一般仪器所显示的末位就是可疑数字。

特殊情况下，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。如在灵敏电流计研究实验中，测临界电阻时，调节电阻箱的“X10”Ω（仪表上才刚有反应，尽管电阻箱的最小步进值为0.1Ω，电阻值也只能记录到“X10”Ω如记R＝8.53×102）。在读取数据时，如果测量值恰好为整数，则必须补“0”，一直补到可疑位。如电表读数规则：可靠数字为可以从仪器上准确读取的部分，可疑数字为估计值。根据规则，可疑数字、有效数字只取一位。首先根据所选电表的量程，确定最小分度值（每小格示数）。若最小分度值为10的整数次幂（10、1、0.1等），则有效数字读到最小分度值下一位，如分度值为0.1读到0.01。

若最小分度值是逢2或5的，则读到最小分度值相应数位即可。如分度值为0.5读到0.1。又如用最小刻度为1mm的钢板尺测量某物体的长度恰好为12mm时，应记为12.0mm；如果改用游标卡尺测量同一物体读数也为整数，应记为12.00mm；如再改用千分尺来测量，读数仍为整数，则应记为12.000mm，切不可都记为12mm。

计算算术平均值，其个数与原始数据相同即可不必增加个数。对于游标式的仪器，如游标卡尺等，所得到的结果是直接测出的，都是有效数字。数字式仪表仪器上所显示的数字也都是有效数字。其中从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有数字的个数叫作这个有效数字的位数。

在有效数字中，数2.5、2.50、2.500的含义是不同的，它们分别代表两位、三位和四位有效数字。数2.5表示最末一个数字5是不可靠的。而数2.50和2.500则表示最末一位数字0是不可靠的。因此，小数最后的零是有意义的，不能随便舍去或添加。但是，小数前面的0是用来表示小数点的位置的，不是有效数字。例如0.92、0.085、0.0063都是两位有效数字。为了正确表述有效数字，特别大或特别小的数字都要用科学记数法，即写成有一位整数的小数和10乘方的积的形式。例如大的数目131000，如果不全是有效数字，就不要这样写。如果是3位有效数字，就写成1.31×105；如果是4位有效数字，就写成1.310×105。必须注意的是，在进行单位换算时必须保证有效数字的位数不变，这样就要采用科学记数法。如3.20cm可以写成3.20×10－2m，也可以写成3.20×104μm，但不能写成32000μm。

4.学会正确读取及处理数据

不管使用何种量具，养成良好的读数习惯是非常重要的。先观看量程，再看最小分度值，然后看零点，最后读数和记录。读数时视线应与表面垂直。

处理数据应体现科学的态度，应在实验前设计好记录数据的表格，实验时如实记录实验数据。

处理数据常用的方法有计算法和图示法。中学物理教学中使用计算法处理数据时常用平均值法以减小实验误差。图示法的优点主要有两点：一是简明、直观，便于比较；二是利用实验中的有限数据得出相关的第三个物理量。中学物理教学中使用图示法时主要采用直角坐标系。应告诉学生横轴代表自变量，纵轴代表因变量，轴上应标明所代表的物理量及单位；坐标原点不一定取为变量的零点；坐标刻度应划分得当；描点和连线时，如果图上有两条线，应采用两种不同的符号加以区别，描绘出的直线或曲线应光滑。曲线不通过全部测量点是正常现象，连线时应尽量使曲线通过或靠近大多数观测点，并使数据点比较均匀地分布在曲线的两侧。

【注释】

[1]吴兴林，武颖丽，李平舟.物理实验[M].西安：西安电子科技大学出版社，2018.

[2]陈晓莉，宋艺华，李杨，等.新课程中学物理实验技能训练[M].北京：机械工业出版社，2015.

[3]陈松鹤.中学物理实验教学的改革创新探索[J].创新创业理论研究与实践，2020，3（12）：37－38.