衍生品定价：跳跃风险与复制误差解析

大量的实证研究表明，可能影响衍生品价格的风险源，除了标的资产扩散过程所带来的风险外，至少还包括随机波动率风险、随机利率风险和跳跃风险等（Bakshi，Cao and Chen（1997）[6]，Bakshi and Kapadia（2003）[59]，Bates（2000）[46]）。这其中，随机波动率和随机利率都是连续的扩散风险，它们对衍生品定价有一定影响。相比之下，跳跃风险的影响则要大得多（Pan（2002）[47]和Santa-Clara and Yan（2010）[49]等）。原因有两点：第一，跳跃风险是偶然发生的价格大幅变动，这显然与扩散风险这种连续发生的价格小幅变动有着本质的不同；第二，跳跃风险的加入使得交易员无论用几种产品对冲都无法完全复制衍生品，也就是说，考虑跳跃风险之后，衍生品不再是理论上的冗余证券了。因此可以认为，在扩散风险之外，跳跃风险是最重要的风险源。考虑到跳跃风险的影响力，在本节中，我们以跳跃风险为例，考察遗漏风险源对复制误差的影响，并在第4章到第6章中，通过数值模拟和实证研究深入研究跳跃风险带来的模型风险问题。

基于Delta复制策略的广泛使用，本节的分析仍然从Delta复制策略出发，考虑当真实模型存在跳跃时，忽视跳跃风险时Delta复制策略可能出现的问题。要理解这个问题，我们要先弄清两点：第一，Delta复制策略所对冲的风险；第二，跳跃风险能否被Delta策略对冲。对于第一点来说，Delta复制策略对冲的是扩散过程的风险，在唯一风险源是标的资产的扩散风险的假设下，Delta复制策略是能够完全对冲掉扩散风险的。第二，跳跃风险能否被Delta策略对冲呢？由于跳跃本身是标的资产价格的大幅变动，根据Merton（1976）[2]的公式，标的资产价格每发生一次跳跃，在发生跳跃之前和发生跳跃之后的Delta值是显著不同的且无法忽略的[15]，仅可用于对冲连续微小变化的Delta对冲策略是无法对冲跳跃风险的。实际上，在跳跃发生后，Delta复制策略中残余的部分标的资产风险源就是由跳跃前后Delta的不一致所带来的。

进一步看，我们在3.3节中介绍的参数复制策略能不能弥补这一缺陷，实现跳跃风险的对冲呢？答案是否定的。回顾3.3节中谈到的参数复制策略的缺陷：在状态变量发生剧烈波动时，近似模型的参数会发生大幅跳跃，此时，参数复制策略的高阶项是不可忽略的，从而会导致参数复制策略的不准确。而标的资产本身就是一个状态变量，它的大幅跳跃自然也会引起近似模型参数的极不稳定，此时，参数复制策略就很容易出现问题。我们将在第4章的数值模拟研究中证实这一点。

总之，我们的结论是，现有的复制策略无法完全对冲跳跃风险。这也是学术界和业界广泛接受的一个结论。因此，在考察模型风险和复制误差时，跳跃风险是一个无法回避的问题，是一个需要花费大量精力考察的问题。因此本节的主要工作，就是从理论上考察跳跃风险将如何影响复制误差。更具体地说，由于Delta复制策略的广泛使用，本节将在一个多状态跳跃扩散模型下推导出Delta对冲组合[16]的表达式。

假设标的资产价格和影响衍生品价格的其他状态变量均服从最一般的跳跃扩散过程（Duffie，Pan and Singleton（2000）[33]）[17]

③在后文中，为了得到Delta对冲组合的随机过程，我们还将具体假设标的资产价格S t所服从的具体随机过程。但在无须具体涉及S t时，为方便起见，我们都将其放在d S t＝uS t d t＋σS t d Wt中，作为整个向量处理。

其中，为标的资产价格S t和影响衍生品价格的其他状态变量X t形成的向量）表示所有状态变量的漂移项向量，表示跳跃风险所服从的补偿泊松过程均值的向量是状态变量扩散过程的波动率向量，d B t为多维布朗运动，值得注意的是，为阿达马乘积（即向量内的元素一一对应相乘），d Z t是多维跳跃过程，其概率分布为ν，其到达密度也是时变的变量，假设为状态变量的函数。

根据伊藤引理，相应衍生品在现实世界中的随机过程可以表示为

其中，代表状态变量本身一阶微分的列向量，而则代表着衍生品对随机状态变量求偏的二阶海赛矩阵。将式（3.16）写成积分形式

其中，是所有状态变量波动率的列向量，而Υpq是指状态变量风险源的相关系数矩阵的第（p，q）个元素，表示状态变量发生跳跃之后衍生品价格的变化量。

Bakshi and Kapadia（2003）[59]曾采用上式来研究波动率风险溢酬问题。在他们的文章中，在标的资产价格之外，波动率是唯一的状态变量，资产价格的跳跃概率则被假设为波动率的函数。在本书中，我们并不直接假设具体状态变量，而是通过更加一般化的推导来描述在Delta对冲之后，组合收益率中所含有的其他风险因素。

首先，当状态变量服从式（3.15）时，根据Girsanov定理，在风险中性世界中，衍生品价格必须满足偏微分方程

其中表示风险中性测度下的多维跳跃过程，代表的是状态变量风险溢酬（注意，不是风险价格）的向量。整理可得

将式（3.17）与（3.18）联立，可以得到(www.xing528.com)

如前所述，在Delta复制策略下，Delta对冲组合是由1单位衍生品多头和Δt单位标的资产空头[18]构成的，其中标的资产数量Δt是动态变化的，等于每个时刻衍生品价格c t对标的资产价格S t的一阶偏导，即Delta值。在对冲中，衍生品和标的资产一多一空，两者的Delta值总是相互对冲，因此任意时刻整个组合的Delta值总保持为零。

用∏τ表示τ时间段内Delta对冲组合价值的变化，有

也就是说，τ时间段内Delta对冲组合价值的变化由三部分构成：（1）衍生品多头价值的变化c t＋τ－c t；（2）根据一阶偏导动态调整的标的资产空头价值的变化；（3）因标的资产数量的动态调整而产生的无风险融资头寸，以应对标的资产头寸调整时的资金需求。

同时，为了推导Delta对冲组合所服从的过程，我们还必须假设标的资产S t在现实世界中服从

其中上标S表示其为标的资产价格对应的各个参数、布朗运动和跳跃过程。而假设标的资产S t在风险中性世界所服从的过程为

其中，年化无风险利率r t＝μS－λS。

这样，将式（3.20）写成连续形式，并将式（3.19）以及标的资产随机过程代入，我们可以得到：

注意X t表示标的资产价格S t之外的其他状态变量，和表示其他状态变量对应的向量。根据式（3.15）

式（3.23）可以化简为

式（3.24）具有重要的意义。它表明，Delta对冲组合的瞬时价值变动取决于五个部分：第一部分是衍生品价格对除标的资产之外其他状态变量[19]的一阶敏感性与其他状态变量连续扩散风险的风险溢酬的乘积，例如，在一个波动率为唯一其他状态变量的模型中（如随机波动率模型），这项就是衍生品价格对波动率的敏感性与波动率风险溢酬的乘积；第二部分是衍生品价格对其他状态变量的一阶敏感性与其他状态变量波动项的乘积，同样以随机波动率模型为例，这项就是衍生品价格对波动率的敏感性与波动率的波动率及其风险源的乘积；第三部分是衍生品价格对其他状态变量的一阶敏感性与其他状态变量跳跃项的乘积，在一个随机波动率跳跃模型中，它就是衍生品价格对波动率的敏感性与波动率的跳跃项的乘积；第四部分是衍生品价格对标的资产价格的一阶敏感性与标的资产价格以及标的资产跳跃均值的乘积；第五部分则是任意状态变量发生跳跃后，衍生品价格在现实世界与风险中性世界中的差，即跳跃风险溢酬。

当时间间隔τ极短时，式（3.24）的期望可以写成

和式（3.24）相比，式（3.25）少了一项，这是因为伊藤积分的期望值为零。而式（3.25）告诉我们，在一个多随机状态变量的世界中，Delta对冲组合的期望值受到四个因素的影响：第一，标的资产之外的其他状态变量扩散部分的风险溢酬期望值的总和；第二，除了标的资产以外，其他状态变量短时间内跳跃幅度期望值的总和；第三，标的资产跳跃幅度的期望值；第四，所有状态变量的跳跃风险溢酬。

式（3.25）的最重要意义在于：这是一个可以用于实证研究的方程。例如，如果我们要检验除标的资产外的其他状态变量的风险溢酬是否为零，就可以Delta对冲组合的收益率为因变量，以其他状态变量的风险溢酬的代理变量为自变量进行回归。自变量的系数若是显著，则说明其他状态变量的风险溢酬不为零[20]。具体的相应实证技术将在后续几章中详细说明。