数学历史名题：数学发展与教学的重要启示

数学历史名题就是指那些在数学发展过程中形成的，并对数学发展过程、数学思想形成、数学模型应用以及数学教学等方面曾经起过或者仍然起着重要作用的一些数学问题。历史上的数学名题比现实问题具有更大的教育价值。因为数学历史名题是经过了数学家的悉心思考反复求解的，其结果更具有价值。通过历史名题，可以重现数学家的思维过程，并使学生获得启发。

（一）哥尼斯堡七桥问题

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城，名叫哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），那里的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能走遍七座桥，每座桥只走过一次，并且不漏掉任何一座桥，最后回到出发点？大家都努力寻找这个问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。

1727年，欧拉被俄国请去圣彼得堡的科学院做研究，他当时20岁。欧拉的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把两岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于图6-1中所画图形的一笔画问题。这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。

图6-1　七桥问题图示

经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连，这道题中的图就是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画成。能否一笔画是由图的奇点和偶点的数目来决定的。那么，什么叫奇点、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫作奇点，与偶数（双数）条边相连的点叫作偶点。如图6-2中的①④为奇点，②③为偶点。

图6-2　奇偶点

凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如，图6-3所示的都是偶点，画的线路可以是①—③—⑤—⑦—②—④—⑥—⑦—①。(www.xing528.com)

图6-3　偶点

凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。例如，图6-4的线路是①—②—③—①—④。

图6-4　奇点

其他情况的图都不能一笔画出。

从上可知，哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，有4个奇点，不能一笔画出。也就是说，哥尼斯堡七桥问题无解。

（二）斐波那契兔子问题

13世纪意大利数学家斐波那契提出这样一个问题：“有人想知道一年内一对兔子到底可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在围墙里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后，第三个月开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？”由此，可以看出六个月兔子的对数分别是1，2，3，5，8，13。比较容易发现这个数列的特点，即从第三项起，每一项都等于前两项之和。按这个规律写下去，便可得出一年内兔子繁殖的对数，每月分别为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。可见，一年内兔子共有233对。这个数列有它的特点，生活中还有具有这种特点的例子。例如，一些花的花瓣数也具有这种特点。鸢尾花有3个花瓣，报春花、野玫瑰、飞燕草和耧斗菜都各有5个花瓣，翠雀花有8个花瓣，泽菊、瓜叶菊和金盏花都各有13个，金菊、多毛金光菊和菊苣有21个花瓣，雏菊有13，21或34个，除虫菊和芭蕉都各有34个花瓣，米迦勒雏菊有55个或89个花瓣，这些数都是斐波那契数，可以让学生感受世界的奇妙，以及自然界中的数学特性。

通过对历史名题的教学，可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学洞察力，启发他们的数学思维，提升他们的数学欣赏能力，加强他们的文化熏陶，培养他们的人文精神。