空气悬架系统的多体理论研究及求解方法

对于悬架系统或整车系统而言，由于存在各种非线性因素，不可能求解出动力方程的解析代数方程，只能用计算机，采用数值的方法求解，常用的是Gear预估—校正多步算法。

Gear预估—校正多步算法继承ADAMS四阶预估—校正变阶算法，采用变步长法，其步骤为：

(1)f(x，t)的Jacobi矩阵的计算；

(2)校正的迭代运算，做这一步时要适当给出迭代精度与单步积分精度，否则会出现迭代收敛所要求的步长小于单步积分精度要求的步长，造成计算步长反复放大缩小。

如果定义系统的状态矢量y=[qT，uT，λT]T，用Gear算法求解系统运动方程，首先，根据当前时刻的系统状态矢量值，用Taylor级数预估下一个时刻系统的状态矢量值：

式中时间步长h=tn+1-tn，这种预估算法得到的新的时刻的系统状态矢量值通常不准确，可由Gear法K+1阶积分进行校正：

其中yn+1 是y(t)在t=tn+1 时的近似值，β0 和αi 为Gear积分系数值，也可写成：(www.xing528.com)

则系统动力学方程，式(3-4)、式(3-5)和式(3-6)在t=tn+1 时刻展开，得

由于整车系统是一个强的非线性系统，采用迭代时易出现分叉和混沌等奇异性问题，这里采用修正的Newton-Raphson(N-R)算法进行迭代。

N-R 算法是用来求解非线性方程组Φ(x)=0，其中共有n 个非线性方程，即：Φ=(Φ1，…，Φn)T，变量x 阵为n 阶列阵。N-R 算法的关键是如何选取适当的初值，如果矩阵为非奇异，则解是唯一的。使用修正的N-R 算法求解上述非线性方程，其迭代校正公式为

式中j表示第j次迭代；Δqj=qj+1-qj；Δuj=uj+1-uj；Δλj=λj+1-λj。则

式中I=，则式(3-13)、式(3-14)和式(3-15)写成矩阵形式为

式中，左边的系数矩阵称为系统的Jacobi矩阵，其中：为系统的刚度矩阵；为系统阻尼矩阵；为系统质量矩阵。通过分解系统Jacobi矩阵求解Δqj、Δuj 和Δλj，计算出qj+1，uj+1，λj+1，和，重复上述步骤，直到满足收敛条件，判定积分误差限，确定是否接受该解，即可求得多体系统相应部件的位移、速度和加速度。