基于多尺度分析的混凝土损伤本构理论研究

对于混凝土、岩石等伪脆性材料，其在拉、压应力作用下表现出迥异的性质，损伤的生成和演化均有很大不同，所以至少需要引入两个损伤变量，分别描述这两类损伤的演化，这就是双标量损伤模型。此时四阶损伤张量分解为

其中，d+与d-分别为受拉损伤变量和受压损伤变量^[2]；P+与P-分别为损伤变量对应的基张量，满足如下单位分解关系

基张量P+与P-分别代表受拉与受压的损伤发展的主方向，如果认为损伤发展的主方向与对应有效应力的主方向一致，即受拉损伤在主拉有效应力方向发展，而受压损伤在主压有效应力方向上发展，那么可以用有效应力的主方向代替损伤的主方向［30，39］，有如下投影张量表达式

其中，与pi分别为有效应力的第i阶特征值和单位化特征向量。对应的有效应力分解为

与上式相对应的损伤能释放率为

在吴-李模型中对上述损伤能释放率表达式做了进一步简化。他们注意到：在受拉应力状态下，其塑性变形的发展极其有限，故可以忽略受拉应力状态下的塑性Helmholtz自由能势，因此，受拉损伤能释放率可简化为

对于受压部分，将未损伤材料考虑为各向同性材料，可得弹性Hemholtz自由能势为

而对于塑性Hemholtz自由能势的具体表达，本书在下一节中进行了详细的讨论，这里先引用其结果讨论对应的损伤的演化。将Drucker-Prager型塑性应变演化方程（2-82）代入受压损伤能释放率的塑性部分，有

此处b=定义为材料硬化模量，为材料常数。则受压损伤能释放率

上述表达式仍然比较复杂，不利于实际计算。在吴-李模型中，建议在适当选取参数的基础上，使得受压损伤能释放率近似满足完全平方形式，即取

根据式（2-28），可以在一般意义上给出损伤演化方程的基本形式为(www.xing528.com)

上述损伤演化式（2-39）是基于损伤能释放率表达的，而实际由试验得到的一维损伤演化往往表达成应变的形式，即损伤标量是单轴应变或者弹性应变的函数，如下

损伤能释放率Y±与单轴应变εe±并不直接对等。因此，基于单轴应变建立的一维损伤演化函数往往不能直接应用于基于损伤能释放率表示的多维损伤演化。本书在文献［2，51］的启发下，基于损伤一致性条件，进一步推导了能量等效应变表达式，以便可以直接采用一维损伤演化函数式（2-40）表示多维加载条件下的损伤演化。

损伤一致性条件：如果两个应力状态的损伤能释放率相等，那么二者的损伤变量取值就相等，并且与二者的具体受力状态无关。

图2-8中给出了二维损伤演化的几何结构。根据损伤一致性条件，在损伤等值线上的各应力状态损伤能释放率保持不变，其损伤变量的取值也相等。因此对于任意一个二维受力状态，可以获得与一维受力状态能量等效的应变εe，按照这一应变由一维损伤演化方程计算损伤变量，所得损伤变量值将与直接基于二维应力状态计算的损伤值相同。

图2-8　损伤演化的几何结构

一般而言，对于三维应力状态，损伤能释放率亦可表示为

而对于一维应力状态，将分别代入受拉损伤能释放率式（2-34）和受压损伤能释放率式（2-38），可得

显然，这个特定条件下三维受力状态的损伤能释放率等于单轴受力状态的损伤能释放率

根据损伤一致条件，在损伤等面上，一般三维受力状态亦满足上述关系，因此，可解得与多维受力状态等效的单轴应变如下

其中，定义为能量等效应变。

因此，多维损伤演化可由试验确定的一维损伤演化函数以能量等效应变表示为

其中，g±（·）的具体形式可分别由单轴受拉与受压试验确定。