基于多尺度分析的混凝土随机损伤本构理论研究成果

不可逆热力学是建立一般性的多维弹塑性损伤力学的理论基础。

引入应变张量的弹、塑性分解［28］

其中，εe和εp为总应变ε的弹性和塑性分量。

引入等效应变假定［28，122］之后，可定义有效应力张量为

此处C0为未损伤材料的弹性刚度张量，而∶表示张量的二重缩并。

为了将材料的弹性、塑性和损伤统一考虑到一个理论框架中，现代损伤力学引入了不可逆热力学中Helmholtz自由能势（HFE）的概念^[1]。弹塑性损伤Helmholtz自由能势一般表示为如下形式：

其中，D为四阶损伤张量；q为应力空间塑性内变量组成的向量。

上式中，为了分别考虑弹性损伤和塑性损伤，将弹塑性损伤Helmholtz自由能势ψ做了分解，通过分解，得到弹性Helmholtz自由能势ψe和塑性Helmholtz自由能势ψp。其中考虑完全四阶损伤张量的弹性Helmholtz自由能势定义为

塑性Helmholtz自由能势的表达式将在下文中讨论。

根据不可逆热力学定律，任何不可逆热力学过程都要满足下述克劳修斯-杜哈美不等式

对Helmholtz自由能势式（2-3）求时间导数，有

其中∷表示四阶张量的全缩并，定义为A∷B=AijklBijkl。

将上式代入克劳修斯-杜哈美不等式（2-5）并整理，可得

式（2-7）成立的充分条件为下述一个等式

和两个不等式(www.xing528.com)

由等式（2-8）可知固体的实际应力（Cauchy应力）只与弹性应变有关，将弹性Helmholtz自由能势式（2-4）代入等式（2-8），整理可得损伤本构关系如下：

将损伤本构关系式（2-11）代入不等式（2-10）可得如下演化不等式

式（2-12）取等号，积分可得塑性Helmholtz自由能势函数为

式（2-12）中定义的演化条件中，塑性与损伤有着耦合作用，若基于此直接建立塑性损伤理论，则在数值求解过程中，中间解需要在塑性子空间与损伤子空间之间反复迭代，而两个子空间之间的迭代既大大增加了计算量，又非常不利于计算收敛。所以，需要考虑式（2-12）的适当简化。笔者认为，若考虑式（2-12）中损伤变量是可分离变量的，即存在四阶张量Ap（q），使得

代入（2-12），则可得

其中，初始塑性Helmholtz自由能势

此时塑性应变的演化只与有效应力有关。

基于式（2-15）建立起来的塑性理论称为有效应力空间塑性力学，我们将在第2.4节中详细讨论这一部分内容。此处仅指出，有效应力空间塑性力学实际上是对完全弹塑性损伤理论的一种近似，只有当损伤变量与塑性函数之间可分离，即式（2-14）满足时，其在理论上才精确成立。从应用层面讲，可分离假定不会引起很大的误差。

由不等式（2-9）可得与损伤变量D对偶的损伤能释放率，即

再一次应用前述的可分离假设，即式（2-14），可得

一般，取损伤张量D为损伤能释放率Y的单调递增函数，代入式（2-9）左端，有

上式右端第一项大于等于0，由于单调性，第二项与第三项同号，因此上式将大于等于0，满足不等式（2-9）。

由式（2-18）可知，虽然可分离假定将损伤从塑性演化中剥离出来，但是塑性演化仍然通过损伤能释放率对损伤演化有影响，从这个意义上讲，经可分离假定简化后的模型考虑了塑性与损伤之间的单向耦合作用。此时建立的损伤理论可以将塑性子空间的求解与损伤子空间的求解顺序进行，而不用在两个子空间之间迭代。由于单向耦合性的存在，两个子空间的求解顺序也不能颠倒。