混凝土随机损伤本构理论研究

与宏观损伤力学的研究相对比，细观损伤力学试图从混凝土细观缺陷（微裂缝、微空洞）的形成与发展的角度反映混凝土力学行为的发展、变化过程。对于最简单的微缺陷构型和加载条件，特别是单调裂缝在无穷远应力作用下的情形，材料宏观性质的变化规律可以得到解析解，这方面的研究已经相当成熟，Nemat-Nasser and Horri的专著［40］对此进行了详细的讨论。为了考虑微裂缝间相互作用的影响，各国研究者也已经进行了大量的研究，形成了包括Mori-Tanaka方法［41］、自洽方法（Budiasky and O'connell［42］）、广义自洽方法（Christensen and Lo［43］）、微分方法（Norris［44］以及Hashin［45］）等系列研究成果。但是，上述方法都只能在稀疏裂缝分布的前提下描述裂缝之间的弱相互作用。如何基于微裂缝系综模型描述加载中后期混凝土中微裂缝之间的交错、合并甚至形成剪切带等强相互作用，至今仍然是世界性的难题。

混凝土的细观结构具有典型的随机性，这种随机性对于其中微裂缝群的演化有着深刻的影响，进而也影响到材料的宏观损伤演化。所以在混凝土的细观损伤建模过程中，微结构的随机性影响不容忽略。现有的细观损伤理论，并不能具象地直接考虑混凝土随机微结构中的微裂缝形成和扩展。而采用抽象的方式，则可以考虑微结构的随机性及其对宏观非线性的影响。

1986年，Krajcinovic and Fanella［46］将经典弹簧模型引入混凝土损伤研究中，以并联弹簧束（图1-3）的随机断裂模拟材料的破坏机制，从弹簧束破坏概率的角度定义了材料的损伤。模型中假设各弹簧刚度相同，弹簧断裂强度fR服从某一分布，将损伤定义为

图1-3　并联弹簧束模型

式中，x为弹簧束位移，k为弹簧束的刚度，因此，kx表示弹簧束的力；FR为弹簧束中最强弹簧的断裂强度；p（fR）为弹簧断裂强度概率分布密度函数；而Prob（·）表示某一事件发生的概率。

若假定弹簧断裂强度服从Weibull分布，损伤演变规律可用弹簧束内力表示为

式中，m和θ是Weibull分布的形状和标度参数。

假设各个弹簧断裂强度为同一分布，可得到弹脆性材料的损伤本构关系。例如单轴受拉本构方程可写成

值得指出的是：在Krajcinovic的研究中，直接用细观单元的断裂概率定义损伤变量。而在本质上，如此定义的损伤变量是确定性变量而非随机变量。因此，该模型并不能确定损伤演化过程中的随机演化特征和变异性信息。换言之，Krajcinovic模型在本质上属于确定性本构关系模型。

1996年，Kandarpa et al［47］对Krajcinovic模型作出进一步扩展，将弹簧的破坏强度用连续的随机变量表示，并且通过随机场的相关结构考虑相邻缺陷之间的相互影响，建立了基于弹簧模型的混凝土单轴受压随机损伤本构模型。根据Kandarpa et al的推导，可得损伤的均值和方差

式中，d为位移；FΔ（d）为随机场的一维分布函数，模型中假定随机场的分布函数与空间坐标无关；FΔ（d，d；r）为随机场的二维分布函数，模型中假定二维分布函数只与随机场中两点的绝对距离r有关。(www.xing528.com)

Kandarpa模型考虑了随机变量的相关性、部分反映了损伤的随机性，是第一个真正意义上的细观随机损伤模型。但是，由于处于研究的初始阶段，该模型在建模过程中未加说明地采用受压力-位移曲线拟合受拉损伤的演化，从而使这一模型的可信性受到质疑。另外，从本质上考察Kandarpa模型属于弹性损伤模型范围。

微弹簧模型的本质，是将材料力学性质的随机性作为损伤的演化依据之一，这就能自然而然地将混凝土材料内秉的非线性与随机性及两者的耦合作用纳入到一个统一模型中来。基于从细观物理机制入手研究损伤演化的基本观点，李杰等对Kandarpa模型做出了系列的改造［48-53］，采用细观尺度意义上断裂应变服从某类概率分布的微弹簧模型来表征基本细观单元，并引入声发射技术与随机建模准则，逐步发展了两类细观随机断裂-滑移模型［2］，如图1-4所示。进而，通过引入能量等效应变并与前述双标量弹塑性损伤模型相结合，发展了一类新型的弹塑性损伤模型［51］，较好地解决了非线性与随机性的综合反应问题。

图1-4　混凝土损伤细观随机断裂模型

（a）受拉单元；（b）受剪单元

在上述模型中，在细观层次上将混凝土离散为具有一定特征高度和截面积的小柱体，并用微弹簧模型加以表示。拉伸（或剪切）微弹簧均假定为理想弹脆性材料，其断裂应变为一随机变量。根据细观损伤力学分析，可得损伤演化规律为

式中，Δ±（x）为一维断裂应变场；ε±为控制应变。

利用随机分析方法，可由上两式得到损伤的统计特征和概率分布［51，52］。损伤的均值演化为

而损伤的方差演化为

其中，F±（ε±）和F±（ε±，ε±；γ）为细观断裂随机场的一维和二维分布函数。

本质上，微弹簧模型是一种抽象细观模型，它从一定程度上反映了损伤导致应力重分布的物理本质，因此，它反映了混凝土的非线性、随机性及其联系。但是由于这种反映是笼统而抽象的，其模型参数的识别必然有赖于对于实验数据的拟合。