正态总体参数的假设检验

设总体X～N（μ，σ2），（X1，X2，…Xn）是来自总体X的样本，下面举例说明对参数μ，σ2作显著性水平为α的4类检验问题.

1.已知方差σ2，检验假设H0：μ=μ0

例9.20　某炼铁厂的铁水每炉含碳量在正常情况下服从正态分布N（4.55，0.1082），现在抽测5炉铁水，含碳量分别是4.38，4.45，4.47，4.52，4.50，假如标准差没有变化，问在显著性水平α=0.05下所炼铁水的平均含碳量是否有显著变化?

解　（1）提出假设H0：μ=4.55.

（2）假设H0成立，则统计量

（3）对于给定的显著性水平α=0.05，查得临界值μa/2=1.96，从而拒绝域为（-∞，-1.96）∪（1.96，+∞）.

（4）由样本值得=4.464，从而U的实现值为

因为，故可以接受假设H0，即在显著性水平α=0.05下所炼铁水的平均含碳量没有显著变化.

2.已知方差σ2，检验假设H0：μ≤μ0

例9.21　已知某电子元件的寿命服从正态分布N（3 000，1502），采用新技术试制一批同种元件，抽查20个，测得元件寿命的样本均值为3 100小时，若总体的方差不变，试问用新技术生产的这批电子元件的平均寿命是否有显著提高（取显著性水平α=0.05）?

解　（1）提出假设H0：μ≤3 000.

（2）假设H0成立，取统计量，此时U的分布不能确定.但N（0.1），虽然中有未知参数μ，但当H0成立时，有U≤，因而事件{U＞ua}⊂{＞ua}，故P（U＞ua）≤P（＞ua）.

由P（＞ua）=α知，P（U＞ua）≤α，即事件{U＞ua}比事件{（＞ua）}的概率更小，所以对给定的显著性水平α，{U＞ua}也是小概率事件，其拒绝域为U＞ua.

（3）对于给定的显著性水平α=0.05，由，查标准正态分布表，得临界值μα=1.65，从而拒绝域为（1.65，+∞）.

（4）由样本值得=3 100，从而U的实现值为

显然u落在拒绝域中，故在显著性水平α=0.05下拒绝假设H0，即用新技术生产的这批电子元件的平均寿命有显著提高.

以上两种假设检验的方法是：利用统计量的分布N（0，1）来检验方差σ2已知情况下正态总体N（μ，σ2）均值μ，这种方法称为U检验法.U检验法是检验方差已知的正态分布均值的常用方法.

3.未知方差σ2，检验假设H0：μ=μ0

例9.22　在正常情况下，某工厂的灯泡寿命X服从正态分布.现测得10个灯泡寿命（h）如下：

1 490，1 440，1 680，1 610，1 500，1 750，1 550，1 420，1 800，1 580

能否认为该工厂生产的灯泡的平均寿命为μ0=1 600（h）（取显著性水平α=0.05）.

解　（1）提出假设H0：μ=1 600，由于σ2未知，自然想到用它的无偏估计量S2来代替σ2.

（2）假设H0成立，取统计量，则T～t（n-1）.

（3）对于给定的显著性水平α=0.05，查t分布临界值表可得ta/2（n-1）=t0.025（9）=2.262，从而拒绝域为（-∞，-2.262）∪（2.262.+∞）.

（4）由样本值得=1 582，s≈128.599，n=10，从而T的实现值为-0.443.

因为≈0.443＜2.262.故可以接受假设H0，即在显著性水平α=0.05下该工厂生产的灯泡的平均寿命为u0=1 600（h）.

利用统计量的分布t（n-1）来检验方差未知的正态总体N（μ，σ2）均值μ的方法称为t检验法.

在实际中，正态总体的方差常为未知，所以常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题.

4.未知均值μ，检验假设

例9.23　根据以往的资料分析，某炼铁厂的铁水含碳量服从方差σ2=0.0982的正态分布，现从更换设备后炼出的铁水中抽出10炉，测得含碳量的样本方差S2=0.1312，问根据这一数据能否认为用新设备炼出铁水含碳量的方差仍为0.0982（取显著性水平α=0.05）.

解　（1）提出假设

（2）假设H0成立，取统计量，则χ2～χ2（n-1）.

（3）对于给定的显著性水平α=0.05，n=10，由，以及，查χ2分布表，得临界值，从而拒绝域为

（0，2.7）∪（19.023，+∞）

（4）由样本值得S2=0.1312，σ2=0.0982，n-1=9，从而χ2的实现值为16.08.

显然落在接受域[2.7，19.023]，故可以接受假设H0，即在显著性水平α=0.05下用新设备炼出铁水含碳量的方差仍为0.0982.

利用统计量的分布χ2（n-1）来检验均值μ未知的正态总体N（μ，σ2）的方差（是常数）的方法称为χ2检验法.

练习9.3

1.某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）服从正态分布，其数学期望为9.73根，均方差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著性水平α=0.05）?

2.某电器厂生产一种云母片，根据长期正常生产积累的资料，知道云母片厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米.如果在某日的产品中，随机抽查10片，算得子样观察值的均值为0.146毫米，均方差为0.015毫米.问该日生产的云母片厚度的数学期望与往日是否有显著差异（显著性水平α=0.05）?

3.某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平α=0.05）?

第9章自测题

一、判断题(www.xing528.com)

1.（　　）对应于已给的置信度1-α，根据样本观测值确定未知参数θ的置信区间，称为参数θ的区间估计.

2.（　　）设ξ1，ξ2，…，ξn是取自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，ξ，S分别表示样本均值和样本方差，则

3.（　　）设x1，x2，…，xn是样本的n个观测值，对于任意常数a，令yi=xi-a，i=1，2，…，n，则有

4.（　　）设ξ1，ξ2，…，ξn是取自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，则是σ的无偏估计量.

5.（　　）设ξ1，ξ2，…，ξn是取自总体ξ的样本，则是总体均值E（ξ）的点估计值.

二、选择题

1.设总体ξ服从参数λ未知的泊松分布，x1，x2，…，xn是取自ξ的一个样本，下列随机变量为统计量的是________.

2.已知正态总体方差σ2，对总体均值进行检验Ho：μ=μ0，由下列何值________与临界值作比较，决定是否拒绝Ho.

3.设x1，x2，x3是来自总体ξ容量为3的一个样本，则总体数学期望E（ξ）的无偏估计量是________.

4.设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N（μ，σ2）的样本， 是样本均值，记

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是________.

5.设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N（0，1）的样本，，S分别为样本均值和标准差，则下列正确的是________

.

三、填空题

1.设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N（0，1）的样本，且Y=（X1+X2+X3）2+（X4+X5+X6）2，则当c=________，cY服从自由度为2的χ2分布.

2.检验总体均值μ=μo的方法是提出假设Ho：μ=μo，选取适当置信水平a，按确定k，若观测值满足，则________；若观测值满足，则________.

3.灯泡厂从某天生产的灯泡中，随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下：（单位：小时）1 050，1 100，1 080，1 120，1 200，1 250，1 040，1 130，1 300，1 200.则这批灯泡寿命均值的无偏估计值是________，方差的无偏估计值是________.

4.设总体X的密度函数为

X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，则未知参数θ的矩估计量为________.

5.“小概率事件”是指____________________________.

四、解答题

1.某车间生产滚珠，滚珠直径ξ～（μ，0.05），从某天的产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：mm）：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1.试估计该天产品直径的平均值当a=0.05时的置信区间.

2.随机抽取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为S=11，设炮口速度服从正态分布，求炮口速度的标准差的95%置信区间.

3.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?

思政　阅读材料之力

从“数学阅读”到“数学悦读”

在教学中，我们经常会遇到以下现象：学生不会解答问题时，老师没做任何讲解，只是让他多读几遍题目，他就明白了；还有的学生只要将题目重读一遍，有时甚至读到一半时，就会惊叫：“哦，我会做了！”究其原因是学生没有养成良好的读题习惯，不会认真读题，泛泛而读或者只读不思；部分学生读题能力差，读题磕磕绊绊，添字漏字，题目都读不通畅，更何谈理解题意.

有人认为学生成绩差，是因为没有掌握基础知识，就靠辅导补习来提高.这样也许一时见效，但不能解决学生成绩差的根本问题.要想考虑学生的长远发展，必须让学生学会阅读.

苏霍姆林斯基在《给教师的一百条建议》中要求大家记住：“儿童的学习越困难，他在学习中遇到的似乎无法克服的障碍越多，他就应当更多的阅读.阅读能教给他思考，而思考会变成一种激发智力的刺激.”所以，不论任何学科，提高学生成绩最好的方法就是让学生增加阅读量，扩大知识面.有的老师提出：你完全可以撒着欢儿地把数学试卷朝着10页的目标去出题，增加数学题目的阅读量.不论远观还是近看，数学阅读已经势在必行.要提高学生的数学学习能力，使数学课程目标得到落实，就必须加强学生数学阅读习惯的培养和能力的提升.

方法引领，从“认真听读”到“学会阅读”

在作业或者考试中，部分学生总是因为不懂题意而出错，我们在埋怨学生不会读题时，是否进行过自我反思?课堂上不论是例题还是练习，很多老师习惯自己读题让学生听，学生失去了读题的机会以至于理解不透彻、思考不深入，慢慢自己也懒得读题.“书读百遍其义自见”，所以教师平时要指导学生自己读题，并且读完整，包括题号和要求.

数学例题不像语文那样通俗易懂，数学语言讲究简练，有时关键的一字之差，就谬以千里，如：“增加了”和“增加到”，“用去1/2”和“用去1/2米”等，在读题时，要培养学生不添字、不漏字的精准阅读习惯.

数学语言还具有其特殊性，很多数学题目不仅有文字叙述，还包括对话、表格和图形，读书时，只有把图、文、表格结合起来，厘清题目中信息和问题的先后顺序，才能准确地理解题意.在读的过程中，还要指导学生养成边读边标画重点的习惯，问题要思考，省略号要补充完整，理解图画内容，明白编者意图.

讲究策略，从“数学阅读”到“数学悦读”

在兴趣中阅读.“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，当学生一旦对一个问题有了兴趣，就有了学习的动力.教学中，教师可以根据教材内容创设问题情境，激发学生阅读教材的兴趣，让学生带着好奇去阅读教材，带着向往去探究答案.

在质疑中阅读.“学起于思，思源于疑”，学生刚开始阅读数学课本时，往往抓不住重点，只是走马观花地浏览，根本不知道读什么、怎么读，走形式主义.老师可以适时“设疑”，引导学生，让学生带着思考去阅读，带着猜想去验证；老师还可以结合教学内容编写阅读提纲，给学生以扶手，促使他们迅速把握教材中的要义，掌握数学阅读的一些技巧.

多种感官参与阅读.阅读不能只是用眼浏览，而应是眼、口、手、脑等多种感官充分协同参与.提倡学生逐字逐句默读，反复咀嚼，读思结合；遇到公式推导、规律探究时，还要根据书中的提示进行动手操作，变抽象为直观，经历知识的形成过程，发现问题的本质.

在成就中阅读.有些课型：如概念课，不需要老师过多的讲解，学生完全可以根据问题和提纲，通过读、思、做而获取知识.这时老师要大加表扬和鼓励学生的自学能力，让学生体会到阅读带来的成就感，从而更加爱上阅读.

开拓视野，从“课内阅读”到“课外阅读”

将数学阅读延伸至课外，比如，学习了“圆柱”之后，引导学生了解阿基米德的“圆柱容球”以及关于阿基米德的故事；学习了“利息”之后，安排学生把压岁钱存入银行，加深对本金、利息的理解，在银行里了解数学文化，感知数学即生活，生活即数学.通过课外阅读，学生感受到了数学知识的博大精深和神奇魅力.

教师还可以向学生推荐一些数学科普读物和数学期刊、报纸，如《数学家的故事》《数学真美妙》《马小跳玩数学》《奇妙的数字和图形》等，作为他们长期的课外阅读材料.定期在班内搞一些数学读物交流会，让热爱读书的孩子找到成就感，激发其他学生的阅读欲望，从而在班内形成浓厚的阅读氛围，养成阅读习惯.

教师也可以搞一些数学实践活动，如把阅读与研学相结合、阅读与游戏相结合、阅读与魔术相结合，让学生感受到原来数学阅读也这么好玩、这么有趣，真正地从“数学阅读”到“数学悦读”，为学生的长远发展奠定坚实的基础.