专家教授解密弯曲空间、引力与宇宙现象

女士们先生们：

今天，我将要讨论弯曲空间及其与引力现象的关系。毫无疑问，你们中的任何一个人都能很容易地想象出一条曲线或一个曲面，但一提到一个弯曲的三维空间，你们的脸就变长了，你们倾向于认为这是非常不寻常的，甚至是超自然的。人们常常认为弯曲空间很“恐怖”的原因是什么？这个概念真的比曲面的概念更难吗？你们中的许多人，如果愿意稍微多思考一下，也许会说，你很难想象一个弯曲空间，是因为你无法像观察地球仪的弯曲表面那样“从外部”来观察它，或者举另外一个例子，马鞍那样的特殊曲面。然而，那些这样说的人自己不了解曲率的严格数学含义，而实际上这与该词的常用用法有所不同。如果画在某个表面上的几何图形的性质与平面上的不同，我们数学家就称其为曲面，并且我们通过偏离欧几里得经典规则的偏差来测量曲率。如果你在一张平整的纸上画一个三角形，你从基本几何学中得知，它的三角之和等于两个直角的和。你可以把这张纸折成一个圆柱形，一个圆锥形，甚至更复杂的形状，但是画在它上面的三角形的内角之和始终等于两个直角。

曲面的几何形状不会随着这些变形而改变，而且从“内部”曲率的角度来看，得到的曲面与平面一样平。但是，你不可能在不拉伸的情况下把一张纸贴到球面或鞍形面上，而且，如果你试图在球面上画一个三角形（即球面三角形），欧几里得几何的简单定理就不再成立了。事实上，一个三角形，例如，由两个子午线的北半部和它们之间的一条赤道组成，在它的底部有两个直角，在顶部有一个任意的角。

相反，在鞍形表面上，你会惊讶地发现，三角形的角度之和始终小于两个直角。

因此，为了确定一个表面的曲率，有必要研究这个表面的几何形状，而从外面看往往会产生误解。仅仅通过观察，你可能会把圆柱体的表面与圆环的表面归为一类，而前者实际上是平坦的，而后者是不可逆的弯曲。一旦你习惯了这种新的严格的曲率概念，那么对于理解物理学家在讨论我们所生活的空间是否是弯曲时所要表达的意思，就不存在任何困难了。问题仅在于找出在物理空间中构造的几何图形是否服从欧几里得几何学的一般定律。

然而，既然我们谈论的是实际的物理空间，那么我们首先必须给出几何中所用术语的物理定义，特别是要通过直线构图来阐明我们所理解的内容。

我想大家都知道直线一般被定义为两点之间的最短距离；它可以通过在两个点之间拉伸一根弦来获得，也可以通过一种等效但复杂的方法来获得，即通过试验找出两个给定点之间的一条直线，在这条直线上可以放置最小数量的给定长度的量尺。

为了表明这种找到直线的方法的结果将取决于物理条件，让我们想象一个绕其轴均匀旋转的大型圆形平台，并且实验者（2）试图找到这个平台边缘两点之间的最短距离。他有一个箱子，里面有很多小量尺，每根12.7厘米，他试着把它们在两点之间排成一行，这样就可以用最少的小量尺。如果平台不旋转，他会把它们放在一条线上，这条线在图上用虚线表示。但由于平台的转动旋转，如我在上一讲中所讨论的，他的量尺将遇到相对的收缩，而那些更靠近平台外围（因此具有较大线性速度）的量尺收缩得更多。因此，很明显，为了使每根量尺都能获得最大的距离，应尽可能将其靠近中心放置。但是，由于这条线的两端都固定在边缘上，所以只能把这条线中间的量尺移到靠近中心的地方，但这也是不利的。

科学家们正在一个旋转平台上测量某物＊

*胡克汉姆的转盘，这个名字是为了纪念约翰·胡克汉姆先生而命名，他曾在剑桥大学出版社担任插画师，他退休前为本书绘制了许多插图。

因此，将通过两个条件之间的折中来达到结果，最短的距离最终由稍微向中心凸出的曲线表示。

如果我们的实验人员不使用单独的小量尺，而只是在问题的两点之间拉伸一根绳子，结果显然是一样的，因为绳子的每一部分都和单独的量尺受到相同的相对论性收缩。我想在这里强调一点，当平台开始旋转时发生的拉伸弦的变形与离心力的作用通常无关；事实上，无论弦被拉得多么紧，这种变形都不会改变，更不用说普通的离心力会朝相反的方向作用。

现在，如果平台上的观察者决定通过将由此获得的“直线”与光线进行比较来检查其结果，则他会发现光线确实沿其构造的线传播。当然，对于站在平台附近的观察者来说，光线似乎根本不会弯曲。他们将通过平台旋转和光的直线传播的重叠来解释移动的观察者的结果。

然而，对于在旋转平台上的观测者来说，他所得到的曲线的“直线”的名称是完全正确的：它是最短的距离，并且与他的参照系中的光线相吻合。假设他现在选择外围的三个点，并用直线将它们连接起来，形成一个三角形。在这种情况下，三角形的角度之和将小于两个直角的和，他会得出结论——他周围的空间是弯曲的。

再举一个例子，假设平台上的另外两个观察者（3和4）决定通过测量平台的周长和直径来估计p的数量。观察者3的量尺不受旋转的影响，因为它的运动总是垂直于它的长度。另一方面，观察者4的量尺将始终收缩，并且其在圆周长度上的值将大于非旋转平台的值。因此，用4的结果除以3的结果将得到一个比教科书中通常给出的p的值更大的值，这也是空间曲率的结果。

不仅长度测量会受到旋转的影响。位于边缘的手表会有很大的速度，根据上一堂课内容的考量，它会比位于平台中心的手表走得慢。

如果两个实验人员（4和5）在平台中央校准他们的手表，然后5将其手表放到边缘一段时间，回到中心后他会发现，他的手表比始终保持在中央位置的手表要走得慢。因此，他将得出结论，在平台的不同位置，所有物理过程都以不同的速率进行。

假设现在我们的实验者停下来，想一想他们刚刚在几何测量中得到异常结果的原因。假设他们的平台是封闭的，形成了一个没有窗户的旋转房间，这样他们就无法看到自己相对于周围环境的运动。他们能否解释所有观察到的结果纯粹是由于平台上的物理条件所致，而不考虑平台相对于安装平台的“坚实地面”的旋转？

很自然地，他们会把观察到的效应归因于这个力的作用，例如，在两块表中，离中心较远的那块表在这种新力量的作用方向下，会走得慢一些。

但是，这股力量真的是新力量吗？在“坚实的基础”上是观察不到的吗？难道我们不是经常观察到所谓的万有引力将所有物体拉向地球中心吗？当然，在一种情况下，我们有向着圆盘边缘的吸引力，在另一种情况下，有向着地球中心的吸引力，但这仅意味着力的分布有所不同。然而，我们不难举出另一个例子，在这个例子中，参考系统的非匀速运动产生的“新”力看起来就像是这间教室中的重力。

假设一艘为星际旅行而设计的火箭飞船在太空中自由飘浮，远离不同的恒星，以至于内部没有重力。因此，这样一艘火箭飞船里的所有物体，以及乘坐它飞行的实验员，都将没有重量，他们自由地飘浮在空中，就像著名的儒勒·凡尔纳的故事里的米歇尔·殷切和他的月球同行者们一样。

现在，发动机已经启动，我们的火箭飞船开始运动，并逐渐提高速度。里面会发生什么？很容易看出，只要火箭飞船加速，它内部的所有物体都会表现出向地板运动的趋势，或者，换一种说法，地板也会朝着这些物体运动。例如，如果我们的实验者手里拿着一个苹果，然后放开它，则苹果将继续以恒定速度（相对于周围的恒星）——也就是在苹果被释放的那一刻，火箭飞船正在移动的速度运动。但是火箭飞船本身是加速的；因此，机舱的地板一直在不断移动，最终将超过苹果并击中它；从这一刻起，苹果将永远保持与地面接触，受到稳定的加速作用而被压在地板上。

然而，对于里面的实验人员来说，这看起来就像是苹果以一定的加速度“掉落”，并且在撞击地板后仍然因其自身的重量而受到挤压。他还会进一步注意到，所有物体都以完全相同的加速度下落（如果他忽略了空气的摩擦力），他还会记住，这正是伽利略发现的自由落体的规律。实际上，他将无法注意到他的加速舱里的现象与普通重力现象之间的细微差别。他可以使用带有钟摆的时钟，把书放在可以确保它们不飞走的架子上，并用钉子钉上阿尔伯特·爱因斯坦的肖像，他首先指出了参考系统的加速度与重力场的等效性，并在此基础上发展了所谓的广义相对论。

但是在这里，就像在第一个旋转平台的例子中一样，我们将注意到伽利略和牛顿在研究重力时所不知道的现象。穿过机舱的光线将变弯曲，根据火箭飞船的加速度，会照亮挂在对面墙上不同位置的屏幕。当然，外部观察者会将其解释为由于光的匀速直线运动和观测舱的加速运动的重叠。几何结构也会出错：三束光形成的三角形的内角和将大于两个直角和，并且圆的周长与其直径之比将大于数字p。我们在这里考虑了两个最简单的加速系统示例，但是上述等效性对于刚性或可变形参考系统的任何给定运动都适用。(www.xing528.com)

我们现在讨论最重要的问题。我们刚才看到，在一个加速的参考系统中，可以观察到许多普通引力场所未知的现象。这些新现象，比如光线的弯曲或时钟的变慢，是否也存在于可衡量的质量所产生的引力场中？或者，换句话说，难道加速度的作用和引力的作用不仅非常相似，甚至是完全相同的吗？

地板……最终会赶上苹果并击中它吗？

当然，很明显，尽管从启发式的观点来看，人们很容易接受这两种效应的完全同一性，但最终的答案只能通过直接实验得到。我们人类的头脑要求宇宙法则的简单性和内在的一致性，而实验确实证明了这些新现象也存在于普通引力场中，这令我们的大脑感到满意。当然，加速度场和引力场等效假说所预测的影响非常小：这就是为什么只有在科学家特地开始专门寻找它们之后才发现它们的原因。

利用上面讨论的加速系统的示例，我们可以轻松估算两个最重要的相对论引力现象的数量级：时钟速率变慢和光线的曲率。

让我们先以旋转平台为例。从基本力学可知，作用于距中心r处的质点上的离心力是由这个公式给出的

其中ω是平台旋转的恒定角速度。这样，在粒子从中心向外围运动的过程中，这个力所做的总功为

其中R是平台的半径。

根据上述等效原理，我们认为F是平台上的引力，W是中心和边缘之间的引力势差。现在，我们必须记住，正如我们在上一堂课中所看到的那样，以速度υ运动的时钟比不动时钟减慢的多少是由如下公式决定的：

如果v比c小很多，我们可以忽略其他项。根据角速度的定义，我们有v=Rw，这样“减慢因子”变为

根据其所在位置的引力势差来给出时钟速率的变化。

如果我们在地下室放置一个时钟，在埃菲尔铁塔的顶部放置另一个时钟（高30.48米），则它们之间的势差会非常小，以至于地下室的时钟的减慢因子为0.999 999 999 999 97。

另一方面，地球表面和太阳表面之间的重力势差要大得多，减慢因子为0.999 999 5，这是可以通过非常精确的测量得到的。当然，没有人会把一个普通的时钟放在太阳表面，然后看着它走！物理学家有更好的方法。通过分光镜，我们可以观察到不同原子在太阳表面的振动周期，并将它们与在实验室中放入本生灯火焰中的相同元素的原子的周期进行比较。根据公式（4），太阳表面原子的振动应该减慢，它们发出的光和地球上的光源发出的光相比略带红色。这种“红移”实际上是在太阳和其他几颗恒星的光谱中观察到的，可以对它们进行精确测量，其结果与我们的理论公式给出的值一致。

因此，红移的存在证明了由于太阳表面更高的引力势，太阳上发生的过程确实稍慢一些。

为了测量一束光在引力场中的曲率，使用第2章中所给的火箭飞船的例子更为方便。如果l是穿过舱室的距离，那么光穿过舱室所花费的时间t为

在这段时间内，飞船以加速度g运动，将通过以下基本力学公式给出的距离L：

因此，表示光线方向变化的角度是如下数量级的

光在引力场中传播的距离越大，Φ的值也越大。当然，这里的飞船加速度g必须解释为重力加速度。如果我让一束光穿过这间教室，我可以取大约l=10米。地球表面的重力加速度g是9.81米/秒2 c=3×108米/秒，我们得到

因此，你可以看到，在这样的条件下，光线的曲率是绝对观察不到的。然而，靠近太阳表面的g是270米/秒2，并且光在太阳的引力场中传播的路径非常大。精确的计算表明，当一束光线经过太阳表面附近时，其偏差值应该是1.75弧秒，而这恰好是天文学家在日全食时观察到的恒星在太阳附近的视位置的位移值。你在这里也可以看到，观测结果显示了加速度和引力的效应完全相同。

现在，我们可以再次回到有关空间曲率的问题。你们还记得吗，使用最合理的直线定义，我们得出的结论是，在非均匀运动的参考系中获得的几何形状与欧几里得的几何形状不同，因此应将此类空间视为弯曲空间。由于任何引力场都等于基准系统的某种加速度，因此这也意味着存在引力场的任何空间都是弯曲的空间。或者，更进一步，引力场只是空间曲率的物理表现。因此，每个点的空间曲率应由质量分布决定，在重物附近，空间曲率应达到最大值。我只需要提一下，这个曲率一般不是由一个，而是由十个不同的数字决定的，它们通常被称为引力势gμυ分量，是经典物理学引力势的一般化，我之前称它为w。相应地，每一点的曲率由10个不同的曲率半径来描述，通常用Rμυ表示。曲率半径通过爱因斯坦基本方程与质量分布联系起来：

其中，Tμυ取决于可测质量产生的引力场的密度、速度和其他性质。

但是，在本讲座结束时，我想指出方程式（9）最有趣的结果之一。如果我们考虑一个均匀分布着质量的空间，例如，我们的空间充满了恒星和恒星系统，我们将得出以下结论：

除了个别恒星附近偶尔有大的曲率外，该空间在长距离上应该具有均匀弯曲的规律性。从数学上讲，有几种不同的解决方案，其中一些对应于最终封闭的空间，因此具有有限的体积，其他的则代表了类似于这节课开始时提到的鞍形表面的无限空间。等式（9）的第二个重要结果是，此类弯曲空间应处于稳定膨胀或收缩的状态，这从物理上讲意味着填充该空间的粒子应彼此远离，或者相反，向彼此靠近。此外，可以看出，对于具有有限体积的封闭空间，膨胀和收缩周期性地彼此跟随，这就是所谓的脉动宇宙。另一方面，无限的“类鞍形”空间永久处于收缩或膨胀的状态。

在所有这些不同的数学可能性中，哪一个与我们所生活的空间相对应？这个问题不应该由物理学来回答，而应该由天文学来回答。我只想提一下，到目前为止，天文学上的证据已经明确地表明，我们的空间正在膨胀，但是这种膨胀是否会变成收缩的问题，以及空间的大小是有限的还是无限的问题，还没有明确的答案。