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数学实验:捕食者-食饵模型探究

时间:2023-11-02 理论教育 版权反馈
【摘要】:生态学上称种群甲为食饵,种群乙为捕食者,二者共处组成捕食者—食饵生态系统。捕食者离开食饵无法生存,设乙独自存在时死亡率为d,即-dy;甲为乙提供食物相当于使乙的死亡率降低,并促使其增长。

数学实验:捕食者-食饵模型探究

自然界中不同种群之间存在着一种相互依存、相互制约的生存方式,例如种群甲靠丰富的自然资源生长,而种群乙靠捕食甲为生,常见的兔子狐狸落叶松蚜虫都是这种生存模式的典型。生态学上称种群甲为食饵,种群乙为捕食者,二者共处组成捕食者—食饵生态系统

下面给出意大利学家Volterra给出的生态学模型:

食饵甲和捕食者乙在时刻t的数量分别记作x(t),y(t),当甲独立生存时它的(相对)增长率为r,即;而乙的存在使甲的增长率减小,设减小的程度与种群数量成正比,于是x满足方程:

其中,比例系数a是反映捕食者乙掠取食物的能力。

捕食者离开食饵无法生存,设乙独自存在时死亡率为d,即-dy;甲为乙提供食物相当于使乙的死亡率降低,并促使其增长。设这个作用与甲的数量成正比,于是y满足方程:

其中,比例系数b是反映食饵甲对捕食者乙的供养能力。

捕食者—食饵微分方程模型如下:

【示例1.3.4】海岛上有狐狸和野兔,当野兔数量增多时,狐狸捕食野兔导致狐群数量增长;大量兔子被捕食使狐群进入饥饿状态进而使其数量下降;狐群数量下降导致兔子被捕食机会减少,兔群数量回升。

设x(t),y(t)分别表示时刻t的野兔和狐狸的数量,兔子数量的负增长系数为0.015,兔子的存在又为狐狸提供食物。设狐狸的数量与兔子的数量成正比,比例系数为0.01,假设开始时兔子的数量为100,狐狸的数量是20,在忽略兔子的增长率r和狐狸的死亡率d时,建立微分方程模型如下:

试根据上述模型回答下列问题:

(1)计算当t∈[0,20]时,x(t),y(t)的数据,绘图并分析捕食者与食饵的数量变化规律;

(2)若初始条件为x(0)=20,y(0)=15,试计算当t∈[0,20]时的x(t),y(t)数据。

解 针对问题(1),建立M-函数文件,命名为fox.m,编辑窗口输入MATLAB代码如下:

在命令窗口编写MATLAB代码如下:

(www.xing528.com)

运行后得到输出结果为:

根据上述结果可知,当t∈[0,20]时野兔的数量在区间[29.9517,236.0533]之间,狐狸的数量在[20.00,157.2538]之间,野兔和狐狸具体数量的变化规律如图1.3.5所示,野兔和狐狸周期性变化规律如图1.3.6所示。

图1.3.5 野兔和狐狸数量变化规律图

图1.3.6 野兔和狐狸数量周期性变化规律图

根据图1.3.5和图1.3.6可知,野兔的总数量始终大于狐狸的总数量,且野兔数量的变化周期与狐狸数量的变化周期一致。

针对问题(2),在命令窗口编写MATLAB代码如下:

运行后得到输出结果为:

根据上述结果可知,当t∈[0,20]时,野兔的数量在区间[8.6003,390.7983]之间,狐狸的数量在[5.7452,259.0590]之间,野兔和狐狸具体数量的变化规律如图1.3.7所示,野兔和狐狸周期性变化规律如图1.3.8所示。

图1.3.7 野兔和狐狸数量变化规律图

图1.3.8 野兔和狐狸数量周期性变化规律图

根据图1.3.7和图1.3.8可知,当模型中参数确定时,初值对微分方程组的求解结果有一定的影响,但两个种群最大数量的比值几乎是不变的,大约是3∶2。

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