非线性协整：定义问题及应用研究

1.基于线性协整的推广

线性协整理论的成熟与广泛应用进一步促进了学者们对非线性协整领域的研究。关于非线性协整的概念，最初是由Granger（1991）、Granger和Hallman（1991）、Meese和Rose（1991）提出的，他们是基于线性可加模型的思想进行推广的，仍然沿用了I(1)与I(0)分析框架。他们提出的非线性协整的定义如下：

定义1-1　对于时间序列{xt}和{yt}，如果存在非线性可测函数θ(∙)和φ(∙)，使得θ(∙)和φ(∙)都是I(1)，且存在一个非零列向量α＝(α1,α2)′，使得两者的线性组合α′(θ(xt),φ(yt))是一个I(0)序列，则称序列{xt}和{yt}是非线性协整的。也即：非线性变换变量之间的线性协整就是原始变量之间的非线性协整。

该定义可以推广到多个变量的情形：

定义1-2　对于n个时间序列{x1t},{x2t},…,{xnt}，若存在一个k维非零向量α＝(α1,α2,…,αk)′和一个函数向量f(x1,x2,…,xn)＝[f1(x1,x2,…,xn),f2(x1,x2,…,xn),…,fk(x1,x2,…,xn)]′，这里，每个函数序列fi(x1,x2,…,xn),i＝1,2,…,k 都是I(1)，使得线性组合α′f(x1,x2,…,xn)是一个I(0)序列，则称序列{x1t},{x2t},…,{xnt}是非线性协整的。

Hallman（1991）证明，即使非平稳的原始序列之间不具有线性协整关系，它们的非线性变换或许也是协整的。考虑到非线性变换不再保持线性协整的一些性质，Ganger（1995）使用扩展记忆（Extended Memory）对I(1)的概念进行了扩展：如果序列本身是扩展记忆的，它们的变化又是短期记忆的，则这种情形被称为I(1)。扩展记忆的概念定义如下：

对序列{Yt}和信息集It＝{Yt－j,j ≥0}，且E[Yt]＝c，c为一常数，定义均值意义上的条件h步预测为，则扩展记忆可定义为：

定义1-3　当h→∞有ft,h→c，即随着时间的推移，It中的可用信息渐渐不再相关，则称{Yt}为均值意义上的短期记忆（Short Memory in Mean，SMM）。

定义1-4　如果{Yt}不是SMM，也即对所有的h，ft,h是It的函数，则称{Yt}为均值意义上的扩展记忆（Extended Memory in Mean，EMM）。

Ganger等给出的上述非线性协整定义只考虑了整数阶协整变量序列之间的长期均衡关系，而没有考虑分数阶协整序列之间的长期均衡关系。为了使非线性协整的概念也可以包含分数阶协整序列间的长期均衡关系，Abadir和Taylor（1999）对上述定义进行了扩展：

定义1-5a　对于一个序列{xt}，如果其d次差分序列可用自回归（AR）和移动平均（MA）表示，且两者在L＝1都是绝对可加的，则称该序列为d次协整序列，记为xt～I(d)，yt＝Δdxt～I (0)。

定义1-5b　对于一个序列{xt}，如果使用滤波器Δd－v和{1－exp(iθ)L}v，对于所有的v∈(－1/2,1/2)和所有的θ∈(0,2π)，使得yt,v,θ＝Δd－v{1－exp(iθ)}vxt为可逆的Wold表达序列，则称该序列为d阶协整序列。

定义1-6（两变量非线性协整）　对于序列{xt}和{yt}，有xt～I(d)和yt～I(b)，如果存在函数g(∙)使得zt＝xt＋g(yt)～I(s)，且s﹤min(d,b)，则称这两个序列{xt}和{yt}是非线性协整的。

显然，如此定义的协整也允许不同阶协整序列存在非线性长期均衡关系。

然而，将线性协整概念直接推广到非线性的情形，其困难在于非平稳序列的非线性变换并不保持原始序列的原有性质，因而难以在通常的协整概念框架内进行检验和推断。从文献综合来看出现了两种解决思路：利用“吸引子”概念以及利用邻代依赖概念。

2.利用“吸引子”概念

Ganger（1991）提出了长期记忆和短期记忆序列的概念，以区分序列的“记忆性”。这一概念的思想可以用混沌与分形理论加以研究。在频域的相关研究中，Markellos（1997）研究表明，n个随机过程如果具有拓扑共轭，则在共同的“吸引子”上均衡且具有瞬时调整机制。他利用李雅普诺夫谱得到了一个相空间分析中等同于I(1)序列的定义。

定义1-7　设时间序列{xt}与{yt}，若满足：

（1）两序列的最大Lyapunov指数值为0；(www.xing528.com)

（2）存在一个混合函数C(xt,yt)，使得其最大Lyapunov指数值为负数，则称两序列是非线性协整的。

定义1-7可以推广到多元情形。

显然，该定义的关键是能够给出混合函数。Dufrénot与Mignon（2002）提出利用神经网络对非线性函数的逼近能力来近似求出混合函数，如此，就可以应用最大Lyapunov指数来讨论序列间是否具有非线性协整。

3.利用邻代依赖（Near-Epoch Dependent，NED）概念

Gallant and White（1988）使用邻代依赖NED概念来构建非线性过程，非线性过程是指假设是强混合过程的邻代依赖函数。Wooldridge and White（1988）及Davidson（1994）给出了NED变量的泛函中心极限定理，在此基础上可给出类似于单整I(0)和I(1)序列的定义。

线性协整理论框架构建于非平稳时间序列之上，这些非平稳时间序列经过差分以后就变换为平稳序列，也就是差分平稳序列，而差分平稳序列则基于随机游走序列。显然，为了使协整概念能推广到非线性领域，就有必要对非平稳序列的概念加以扩展。为此，需先给出强混合过程和邻代依赖（NED）过程的定义。

定义1-8（强混合过程的定义）　令{vt}是一个随机变量序列，…,vt)是其上生成的σ代数，定义α混合系数为：

如果随着m→∞，有α→0，则过程{vt}就称为强混合的，也称为α混合的。

系数αm测度了含在至少被m个时期分割的变量中的事件之间的相依程度，如果对于所有的λ﹤－a，αm＝o(mλ)，则αm被称为具有大小－a。

定义1-9（邻代依赖（NED）过程的定义）　令{wt}是一个随机变量序列，对于所有的t，有，给定φ(n)为：

其中，而是随机变量的L2模，定义为。如果φ(n)的大小是－a，则称{wt}是依基础序列{vt}的大小为－a的邻代依赖。

基于强混合和邻代依赖过程，可将平稳I(0)序列和非平稳I(1)单整序列以及非平稳序列的线性协整关系的概念都加以扩展。

非平稳I(1)序列的定义：一个序列{wt}，如果它依基础α混合序列{vt}是NED，而由给定的序列{xt}不是依{vt}的NED，则称此序列为I(0)，并称{xt}为I(1)。

两变量协整的定义：两个I(1)序列{xt}和{yt}，如果yt－β12xt是依一个特定α混合序列的NED，但对于δ12≠β12，yt－δ12xt不是NED，则称这两个序列是（线性）协整的，具有协整向量β＝(1,－β12)。

显然，这种线性协整的定义并不难推广到多变量序列的情形，并且也可推广到非线性协整的情形。

Granger（1995）认为，混合性可以与记忆性相联系来理解，也即，SMM可看作均值意义上的混合，而EMM则等价于均值意义上的非混合。由此可知，邻代依赖概念主要是从纯数学的角度对时间序列间的非线性关系加以描述和规范的。

由上述定义可见，目前对于非平稳时间序列的非线性协整还没有较为统一的定义，需要进一步加以研究明晰。