十年数学二真题精解及热点问题

一、填空题

（1）分析 将y改写成y=e^{xln（1+sinx）}后利用微分形式不变性计算dy|_x=π.

精解 由于y可改写成y=e^{xln（1+sinx）}，所以

因此dy|_x=π=-πdx.

附注 由以上计算知y′（π）=-π.它也可以用定义计算：

（2）分析 按公式，算出a，b后即得所给曲线的斜渐近线方程y=ax+b.

精解的定义域为（0，+∞）.

由于

所以，所求的斜渐近线方程y=ax+b即为

附注 题解中极限也可按以下方法计算：

（3）分析 用变量代换x=sint将所给的反常积分转换成定积分后计算.

精解

附注 对收敛的反常积分可以应用换元积分法，因此常通过变量代换将反常积分转换成定积分.

（4）分析 所给微分方程化为一阶线性微分方程后求解.

精解 所给微分方程可以改写成

它的通解为

将代入上式得C=0.将它代入式（1）得所求的解为

附注 所给微分方程的通解也可按以下方法计算：

所给微分方程可以改写成

x²y′+2xy′=x²lnx，

即 （x²y）′=x²lnx，

所以，

从而通解为

（5）分析 由x→0时α（x）与β（x）是等价无穷小知，所以只要算出上式右边极限即可.

精解

附注 计算⁰₀型未定式极限时，分子或分母有理化也是常用方法之一.

（6）分析 用行列式性质计算.

精解 利用行列式性质可得

附注 本题也可利用矩阵的性质计算：

所以（范德蒙德行列式）.

二、选择题

（7）分析 先写出f（x）的表达式，然后确定它的不可导点个数.

精解 当|x|＜1时，，

当|x|＞1时，，

当x=-1，1时，

所以，

由此可知，f（x）在x≠-1，1处可导.由于

知f（x）在点x=1处不可导，由于f（x）是偶函数，所以它在点x=-1处也不可导.

因此本题选（C）.

附注x=x₀是否为连续的分段函数的不可导点也可以用以下方法判定：

如果f′_-（x₀），f′₊（x₀）至少有一个不存在，或者都存在但不相等，则x₀是f（x）的不可导点.

（8）分析 对选项作逐个考虑.

精解 先考虑选项（A）.

设F（x）是偶函数，则f（x）=F′（x）是奇函数.

设f（x）是奇函数，则（C是某个常数）.由于对任意x有

所以F（x）是偶函数.

因此本题选（A）.

附注 下面的结论是有用的，应记住：

设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，则

F（x）是偶函数的充分必要条件是f（x）是奇函数；

F（x）是奇函数的必要条件是f（x）是偶函数.

（9）分析 曲线在x=3处的法线斜率为，即.由此写出法线方程，即可得到它与x轴交点的横坐标.

精解 由于x=3对应t=1，所以

由此得到法线方程为

，即y-ln2=-8（x-3）.

上式中令y=0，得

因此本题选（A）.

附注 曲线在对应t=t₀处的切线斜率为，而法线斜率为

（10）分析 由于D关于直线y=x对称，所以有

由此即可得所给二重积分的值.

精解 由于D关于直线y=x对称，函数

在对称点（x，y）与（y，x）处的值互为相反数，所以

于是

因此本题选（D）.

附注 记住以下结论有时可快捷地计算二重积分：

设f（x，y）是连续函数，D是关于直线y=x对称的平面区域，则有

本题的计算实际上正是利用了这一结论.

（11）分析 计算u（x，y）的二阶偏导数即可.

精解 由得

由 得

比较式（1）、式（2）得

因此本题选（B）.

附注 应记住以下结论：

当函数f（x）连续时，有

以及它的推广形式：

当函数f（x）连续，函数α（x），β（x）可微时，有

（12）分析 只要考虑x→0和x→1时函数f（x）的极限即可得到正确选项.

精解 显然x=0，1都是f（x）的间断点.

由于 ，所以

此外，，

所以点x=0是f（x）的第二类间断点，x=1是f（x）的第一类间断点.

因此本题选（D）.

附注 对间断点x=0，1的性质可进一步明确为：

点x=0是无穷间断点；点x=1是跳跃间断点.

（13）分析 先将α₁，A（α₁+α₂）用α₁，α₂线性表示，然后按α₁，α₂线性无关推出α₁与A（α₁+α₂）线性无关的充分必要条件.

精解 由于α₁，α₂是对应不同特征值的特征向量，所以线性无关，于是由

知α₁，A（α₁+α₂）线性无关的充分必要条件为

因此本题选（B）.

附注 本题也可从向量组线性无关的定义入手进行判定.

设有数k₁，k₂，使得

k₁α₁+k₂A（α₁+α₂）=0， （1）

则α₁，A（α₁+α₂）线性无关的充分必要条件为仅当k₁=k₂=0时式（1）成立.

由于式（1）可以改写成

（k₁+λ₁k₂）α₁+λ₂k₂α₂=0.

所以由α₁，α₂线性无关知，上述的充分必要条件为方程组

只有零解，即

（14）分析 用初等矩阵表示相应的初等变换，经计算即可判定正确选项.

精解 由初等矩阵与初等变换的对应关系得B=PA，其中

由于P^-1=P，所以有

P^∗=|P|P ^-1=-P.

从而B^∗=（PA）^∗=A^∗P^∗=-A^∗P，即A^∗P=-B^∗，由此可知，交换A∗的第1列与第2列得-B^∗.

因此本题选（C）.

附注 要记住以下公式：

设A，B都是n阶矩阵，则

（AB）T=B^TA^T，

（AB）^∗=B^∗A^∗，(www.xing528.com)

（AB）-1=B^-1A^-1（当A，B都可逆时）.

三、解答题

（15）分析 所给极限是型未定式极限，由于分子与分母中都含积分上限函数，因此需用洛必达法则计算，为此应将x从各个被积函数中移走.

精解

附注 题解中应注意的是：计算极限时不能使用洛必达法则，这是因为f（x）未必可导.

本题是综合题，有关计算方法见提高篇01.

（16）分析 用积分表示S₁（x）与S₂（y），然后令S₁（x）=S₂（y），通过对积分上限函数求导算出x=φ（y）.

精解 由题中的图可知

于是，由题设S₁（x）=S₂（y）得

由于M（x，y）是C₂上的点，所以有x=lny，代入上式得

上式两边对y求导得

，即

从而所求的曲线C₃的方程为

附注 由于C₁，C₂与l_x围成的平面图形是X型（即{（x，y）|a≤x≤b，f₁（x）≤y≤f₂（x）}）的，所以，它的面积用对横坐标x的积分表示；由于C₂，C₃与l_y围成的平面图形是Y型（即{（x，y）|φ₁（y）≤x≤φ₂（y），c≤y≤d}）的，所以，它的面积用对纵坐标y的积分表示.

本题是综合题，有关内容和计算方法见提高篇08，12.

（17）分析 先由题设算出f（0），f（3），f′（0），f′（3），f″（0）的值，然后用分部积分法计算所给的定积分.

精解 由题设可知

f（0）=0，f（3）=2.

记f′（0）=k₁，f′（3）=k₂，则l₁，l₂的方程分别为

y-0=k₁（x-0） 与 y-2=k₂（x-3）.

由于它们都过点（2，4），所以有

4-0=k₁（2-0），即 k₁=2，

4-2=k₂（2-3），即 k₂=-2，

从而 f′（0）=2，f′（3）=-2.此外，f″（3）=0.利用以上计算的值，对所求所定积分施行分部积分法得

附注 计算形如（其中g（x）是已知多项式）总是可通过施行若干次分部积分法，利用在x=a，x=b处f（x）、f′（x）及f″（x）的值算得.

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇07.

（18）分析 令x=cost化简所给微分方程，然后求解化简后的微分方程即可.

精解 令x=cost，则

将它们代入所给微分方程得

即

它的特征方程 r²+1=0的解为r=-i，i，所以式（1）的通解为

y=C₁cost+C₂sint.

从而原微分方程的通解为

且

将代入式（2）、式（3）得C₁=2，C₂=1.将它们代入式（2）得所求的特解为

附注 题中所给的二阶线性微分方程不是常系数的，所以往往通过变量代换（例如题解中的自变量变换，此外常用的还有未知函数变换等）将其转换成二阶常系数线性微分方程.

本题是综合题，其内容与计算方法见提高篇03，14.

（19）分析 （Ⅰ）作辅助函数，然后利用连续函数零点定理给出证明.

（Ⅱ）对f（x）分别在[0，ξ]和[ξ，1]上应用拉格朗日中值定理，即可证明结论.

精解 （Ⅰ）由于要证明存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=1-ξ，故需作辅助函数

F（x）=f（x）-1+x.

显然，它在[0，1]上连续，且F（0）F（1）=[f（0）-1]f（1）=-1＜0.所以由连续函数零点定理知，存在ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0，即f（ξ）=1-ξ.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[0，1]分成[0，ξ]与[ξ，1]两个小区间，f（x）在这两个小区间上都满足拉格朗日中值定理条件，所以对f（x）在这两个小区间上分别应用拉格朗日中值定理得η∈（0，ξ）与ζ∈（ξ，1），使得

f（ξ）-f（0）=f′（η）（ξ-0），即

f（1）-f（ξ）=f′（ζ）（1-ξ），即

由式（1）与式（2）知存在不同的两点η，ζ∈（0，1），使得

f′（η）f′（ζ）=1.

附注 本题的（Ⅰ）是（Ⅱ）的铺垫，那么如何想出先要证明（Ⅰ）的呢？实际上，要证明存在两个不同的η，ζ∈（0，1），总是将[0，1]分成两个小区间[0，ξ]和[ξ，1]（ξ是待定的），在这两个小区间上分别应用拉格朗日中值定理得

于是由f′（η）f′（ζ）=1得f（ξ）[1-f（ξ）]=ξ（1-ξ）.由此可以推出

f（ξ）=ξ 或 f（ξ）=1-ξ.

显然，在（0，1）内未必存在能使f（ξ）=ξ的ξ，于是提出证明在（0，1）内存在ξ，使得

f（ξ）=1-ξ.

本题是综合题，有关内容与证明方法见提高篇04.

（20）分析 先算出f（x，y）的表达式，然后计算它在D上的最值.

精解 由于dz=2xdx-2ydy=d（x²-y²），所以z=f（x，y）=x²-y²+C. （1）将f（1，1）=2代入式（1）得

2=1²-1²+C，即C=2.

将它代入式（1）得f（x，y）=x²-y²+2.

由得x=y=0，即f（x，y）在D的内部仅有驻点（0，0），而无其他可能极值点，且f（0，0）=2.

下面计算f（x，y）在D的边界上的最值，即计算f（x，y）在约束条件下的最值.

记

则φ（y）在[-2，2]上的最大值为φ（0）=3，最小值为φ（±2）=-2.

因此，f（x，y）在D上的最大值为max{f（0，0），3}=3（它在点（-1，0）和（1，0）处取到），最小值为min{f（0，0），-2}=-2（它在点（0，-2）和（0，2）处取到）.

附注 连续函数g（x，y）在有界闭区域上的最值可按以下步骤计算：

（ⅰ）计算g（x，y）在D的内部的所有可能极值点，记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）；

（ⅱ）计算g（x，y）在D的边界φ（x，y）=0上的最大值M₁与最小值m₁；

（ⅲ）比较g（x₁，y₁），g（x₂，y₂），…，g（x_n，y_n），M₁，m₁的大小，最大者即为g（x，y）在D上的最大值，最小者即为g（x，y）在D上的最小值.

本题的有关计算方法见提高篇11.

（21）分析 为了去掉被积函数中的绝对值号，先用圆x²+y²=1将D分成D₁与D₂两部分，然后在各部分上分别计算二重积分，再相加即可.

精解 用圆x²+y²=1将D分成D₁与D₂两部分（如图B-05-1所示），则

其中，

将式（2）、式（3）代入式（1）得

附注 （ⅰ）对于定积分，当被积函数中出现绝对值号时，总是适当划分积分区间，去掉绝对值号；

对于二重积分，当被积函数中出现绝对值号时，总是适当划分积分区域，去掉绝对值号.

（ⅱ）也可以如下那样计算：

图 B-05-1

由于D₂关于直线y=x对称，且x²+y²-1在对称点处的值彼此相等，所以

有关分块函数的二重积分计算见提高篇12.

（22）分析 先确定向量组α₁，α₂，α₃可由向量组β₁，β₂，β₃线性表示时的a的各种值，然后从中选取使得向量组β₁，β₂，β₃不能由向量组α₁，α₂，α₃线性表示的a，此a即为所求.

精解 由α₁，α₂，α₃可由β₁，β₂，β3线性表示知，矩阵方程

（β₁，β₂，β₃）X=（α₁，α₂，α₃） （1）

有解，其中X是三阶未知矩阵，由此可知，式（1）的增广矩阵（β₁，β₂，β₃┊α₁，α₂，α₃）的秩等于系数矩阵（β₁，β₂，β₃）的秩.现对增广矩阵施行初等行变换得

由此可知，仅当a≠-2，4时，r（β₁，β₂，β₃┊α₁，α₂，α₃）=r（β₁，β₂，β₃），即当a≠-2，4时，α₁，α₂，α₃可由β₁，β₂，β₃线性表示.

由β₁，β₂，β₃不可由α₁，α₂，α₃线性表示知，矩阵方程

（α₁，α₂，α₃）Y=（β₁，β₂，β₃） （2）

无解，其中Y是三阶未知矩阵.由此可知，式（2）的增广矩阵（α₁，α₂，α₃┊β₁，β₂，β₃）的秩＞系数矩阵（α₁，α₂，α₃）的秩.现对增广矩阵施行初等行变换得

由此可知仅当a=-2或a=1时r（α₁，α₂，α₃┊β₁，β₂，β₃）＞r（α₁，α₂，α₃），即当a=-2或a=1时β₁，β₂，β₃不可由α₁，α₂，α₃线性表示.

综上所述，所求的a=1.

附注 利用以下结论能快捷地判定向量组α₁，α₂，…，α_s能否由向量组β₁，β₂，…，β_t线性表示：

向量组α₁，α₂，…，α_s能由向量组β₁，β₂，…，β_t线性表示的充分必要条件是矩阵方程（β₁，β₂，…，β_t）X=（α₁，α₂，…，α_s）有解，即

r（β₁，β₂，…，β_t┊α₁，α₂，…，α_s）=r（β₁，β₂，…，β_t）；

向量组α₁，α₂，…，α_s不能由向量组β₁，β₂，…，β_t线性表示的充分必要条件是矩阵方程（β₁，β₂，…，β_t）Y=（α₁，α₂，…，α_s）无解，即

r（β₁，β₂，…，β_t┊α₁，α₂，…，α_s）＞r（β₁，β₂，…，β_t）.

本题就是按此结论计算的.有关内容参见提高篇16.

（23）分析 由AB=O知r（A）+r（B）≤3，于是应分r（B）=2，r（B）=1两种情形计算Ax=0的通解.

精解 由AB=O知

r（A）+r（B）-3≤r（AB）=0，即r（A）+r（B）≤3.

当k≠9时，r（B）=2，所以r（A）=1，由此可知，此时Ax=0的基础解系中应有3-r（A）=2个线性无关的解向量，它们可为η₁=（1，2，3）^T（B的第1列）和η₂=（3，6，k）^T（B的第3列），所以通解为x=C₁η₁+C₂η₂（C₁，C₂是任意常数）.

当k=9时，r（B）=1，所以r（A）=2或r（A）=1.

（ⅰ）当r（A）=2时，Ax=0的基础解系中应有3-r（A）=1个线性无关的解向量，它可为η₁，所以通解为x=Cη₁（C为任意常数）.

（ⅱ）当r（A）=1时，Ax=0的基础解系中应有3-r（A）=2个线性无关的解向量，由于此时Ax=0与ax₁+bx₂+cx₃=0（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T，由于a，b，c不全为零，可设其中a≠0）同解.所以有基础解系为ξ₁=（-b，a，0）^T和ξ₂=（-c，0，a）^T.从而此时通解为x=C₃ξ₁+C₄ξ₂（C₃，C₄是任意常数）.

附注 应记住以下结论：

n元齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵，x是m维列向量）有非零解的充分必要条件为r=r（A）＜n.此时方程组有基础解系为η₁，η₂，…，η_n-r（注意：基础解系中线性无关解的个数为n-r=n-r（A）），其通解为

x=C₁η₁+C₂η₂ +…+C_n-rη_n-r （C₁，C₂，…，C_n-r是任意常数）.

本题的有关内容和解法见提高篇16.